Trägheits-Schwingung

Die Trägheitsschwingung, auch Inertialschwingung genannt, ist eine charakteristische transiente Bewegungsform des Wassers in einem unbegrenzten Ozean auf der rotierenden Erde, die durch das Gleichgewicht von Trägheitskraft und Corioliskraft bestimmt ist. Die Trägheitsschwingung ist der Spezialfall der Poincaré-Welle mit unendlich großer Wellenlänge.

Mathematische Beschreibung

Hier sei ein einfaches Beispiel betrachtet, bei dem das Wasser in der oberen Schicht des Ozeans gleichförmig von der Oberfläche   z = 0   bis zur Tiefe   z = −h   zum Zeitpunkt   t = 0   durch einen plötzlichen Impuls großmaßstäblich, das heißt räumlich konstant, nach Osten auf die Geschwindigkeit u₀ beschleunigt wird. Großmaßstäblich bedeutet hier, dass der anregende Impuls über ein Gebiet mit einem Durchmesser von wesentlich mehr als einem Rossby-Radius konstant sein muss. Die Bewegungsgleichungen für die Wasserteilchen lauten dann unter Vernachlässigung der Reibung

$\frac{du}{dt}-fv=u_0\mathrm{\Theta }(z+h)\delta (t)$

$\frac{dv}{dt}+fu=0$

Hier sind u, v die Geschwindigkeitskomponenten nach Osten und Norden, f der Coriolisparameter und δ(t) die Dirac’sche Deltafunktion. Die Komponenten der Geschwindigkeit haben dann den folgenden Verlauf

$u(t)=\mathrm{\Theta }\left(t\right)u_0\mathrm{\Theta }(z+h)\cos \left(ft\right)$

$v(t)=-\mathrm{\Theta }\left(t\right)u_0\mathrm{\Theta }(z+h)\sin \left(ft\right)$

Eigenschaften

In der oberflächennahen Schicht des Ozeans rotiert der resultierende Geschwindigkeitsvektor, sprungförmig mit   t = 0   beginnend, mit konstantem Betrag auf der Nordhalbkugel der Erde im Uhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn mit der Kreisfrequenz   $f=\frac{2\pi }{T_i}$.   T_i   ist die Periode der Trägheitsschwingung $T_i=\frac{2\pi }{2\mathrm{\Omega }\sin \varphi }$ auf dem Breitenkreis Φ. Der tiefe Ozean verbleibt unterhalb von   z←H   in Ruhe, da die Oberflächenströmung frei von Divergenzen ist und somit keine horizontalen Druckgradienten aufgebaut werden, die die tiefen Schichten in Bewegung setzen können.

Die Wasserteilchen bewegen sich in der oberflächennahen Schicht auf Kreisen mit dem Radius $R=\frac{u_0}{f}$. Die charakteristischen Geschwindigkeiten haben in weiten Teilen des Ozeans die Größenordnung O(10^-1 m/s). Der Coriolisparameter hat in den mittleren Breiten die Größenordnung   f = O(10^-4 1/s). Daraus folgt für die Größenordnung des Radius der Trägheitkreise   R = O(1 km). In tropischen Breiten ist der Coriolisparameter eine Größenordnung kleiner. Der Trägheitsradius beträgt dort 10 km.

Beobachtungen und Vorkommen

Trägheitsschwingungen wurden 1932 erstmals von Gustafson und Otterstedt in der Ostsee beobachtet. Seitdem ist ihre Erscheinung in fast allen Ozeanen und Randmeeren nachgewiesen worden. Werden Trägheitsschwingungen in begrenzten Meeren angeregt, entstehen an den Küsten zwangsläufig divergente Strömungen, da die Strömung an der Küste nicht senkrecht zur selben gerichtet sein kann. Die dabei entstehenden Druckgradienten regen unter anderem eine barotrope Poincaré-Welle an, die von der Küste in den Ozean abstrahlt. Dabei stellt sich hinter deren Front eine Strömung ein, die die mit den Trägheitsschwingungen verbundenen Wasserbewegungen derart modifiziert, dass der Wassertransport der gesamten Wassersäule senkrecht zum Ufer null ist. Durch die Poincaré-Welle wird somit der tiefe Ozean in Bewegung gesetzt. Die Front der barotropen Poincaré-Welle breitet sich von der Küste mit der Geschwindigkeit $c=\sqrt{gH}$ in den Ozean aus, so dass selbst im Stillen Ozean in der Größenordnung von einem Tag die Wellenfront das gegenüber liegende Ufer erreicht. Praktisch kann somit eine reine Trägheitsschwingung in der Deckschicht auf der Erde nur über maximal eine Trägheitsperiode existieren. Danach ist auch der tiefe Ozean in eine zur Oberflächenschicht gegenläufige Bewegung gesetzt. Die Bewegung in der Tiefenschicht ist im Ozean im Allgemeinen sehr schwach, da sich ihre Amplitude zu der in der Deckschicht wie h/(H-h) verhält, wenn H die Wassertiefe des Ozeans ist.

Literatur

• T. Gustafson, B. Otterstedt: Observations de courants dans la Baltique 1931. Svenska Hydrografisk-Biologiska Kommissionens Skrifter, Serie Hydrografi XIII. 1932. S. 3–14