Weber-Fechner-Gesetz

Das Weber-Fechner-Gesetz besagt, dass sich die subjektiv empfundene Stärke von Sinneseindrücken proportional zum Logarithmus der objektiven Intensität des physikalischen Reizes verhält.

1834 bemerkte der Physiologe Ernst Heinrich Weber, dass ein Sinnesorgan ab einem bestimmten Intensitätsbetrag eine Veränderung registriert (differentielle Wahrnehmbarkeitsschwelle; englisch: just noticeable difference = gerade noch wahrnehmbarer Unterschied), die als Unterschied ΔR zum vorangehenden Reiz R in einem bestimmten, gleich bleibenden Verhältnis k zu diesem steht:

(1a) $ k={\frac {\Delta R}{R}} $     Webersches Gesetz

Beim Tastsinn beträgt der erforderliche relative Unterschied ΔR/R nach Webers Versuchen etwa 3 Prozent des Hautdruckes, beim Helligkeitssehen etwa 1 bis 2 Prozent der Lichtstärke. Beim Geschmack muss die Konzentration um 10 bis 20 Prozent steigen, um als stärker empfunden zu werden.

Beispielsweise erkennt man einen relativen Gewichtsunterschied von ungefähr 2 Prozent eines in der ruhenden Hand gehaltenen Gegenstands. Man nimmt die Gewichtszunahme eines Gegenstands von zunächst 50 g (Gramm) erst wahr, wenn das Gewicht um 1 g auf 51 g angewachsen ist. Entsprechend muss 5000 g Gewicht um 100 g anwachsen, um schwerer zu wirken.

Der Physiker und Begründer der Psychophysik Gustav Theodor Fechner (1801–1887) erweiterte das Webersche Gesetz 1860 formal durch Integration unter der Annahme, dass k konstant und unabhängig von R ist:

(1b) $ \Delta E=c\cdot {\frac {\Delta R}{R}} $     Fechnersches Gesetz

(2) $ E=c\cdot \ln {\frac {R}{R_{0}}} $     Weber-Fechnersches Gesetz

R₀ ist eine Integrationskonstante, die meistens den Schwellenreiz festlegt. (2) besagt, dass bei einem exponentiellen Anstieg der Reizstärke ihre Empfindung im Sinnesorgan nur linear anwächst. Hierbei ist c die von der jeweiligen Art des Reizes abhängige Größe.

Durch die logarithmische Adaption kann das menschliche Auge Sinneseindrücke von Helligkeit zwischen Dämmerung und hellem Sonnenschein von bis zu 10,5 Zehnerpotenzen (2×10^-5...~10⁶ cd/m²) an physikalischer Leuchtdichte überbrücken.

Die Magnitude (mag) ist eine Helligkeitsgröße, der Unterschied zwischen jeder Helligkeitsstufe (Größenklasse) ist etwa das 2,512-fache. Ein freiäugig gerade noch sichtbarer Stern 6. Größe (6 mag) ist gegenüber der Sonne (−25 mag) um 31 Größenklassen oder 12¼ Zehnerpotenzen schwächer. Ein erfahrener Astronom kann in der visuellen Fotometrie Helligkeitsunterschiede zweier Sterne von nur einigen Prozent wahrnehmen (Argelandersche Stufenschätzungsmethode).

Die wahrgenommene Tonhöhe eines musikalischen Tons hängt logarithmisch von der Grundfrequenz ab. Eine Verdoppelung der Grundfrequenz bewirkt die Änderung der Tonhöhe um eine Oktave. Dagegen gilt das Weber-Fechner-Gesetz nicht für die wahrgenommene Lautstärke, die sogenannte Lautheit. Diese folgt für mittlere und hohe Schalldrücke dem Stevensschen Potenzgesetz: Eine Erhöhung des Schalldrucks um den Faktor $ \textstyle {\sqrt {10}} $ (10 dB) bewirkt eine Verdopplung der Lautheit.

Beim Temperatursinn hingegen nimmt die Reaktion der Thermorezeptoren annähernd linear zur Reizgröße zu. Denn hier ist weniger die „Messung“ der Temperatur wichtig als vielmehr eine Warnung vor Verbrennung oder vor Erfrieren. Ähnliches gilt für die Schmerzwahrnehmung.

Zur Verdeutlichung

Diese Grafik soll die Hellempfindung des menschlichen Auges verdeutlichen. Links sieht man bei gleichem ΔE die unterschiedlich starke Hellempfindung, rechts sieht man bei gleichem ΔH die unterschiedliche Energie des Lichtes. Diesen logarithmischen Zusammenhang beschreibt das Weber-Fechner-Gesetz.

Potenzgesetz

Stanley Smith Stevens stellte 1957 fest, dass die Erweiterung des Weberschen Gesetzes (1) zur Beziehung (2) zu allgemein sei. Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Reaktionsstärke E von der Größe des Reizes, folgt aus (1):

(3) $ {\frac {\Delta E}{E}}=k\cdot {\frac {\Delta R}{R}} $

Die Integration dieser Beziehung führt zur Stevensschen Potenzfunktion:

(4) $ E=c\cdot R^{k} $     Stevenssche Potenzfunktion

Die Konstante c stammt aus der Integration und entsteht aus den beiden Integrationskonstanten. Für k < 1 ähnelt sie dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz. Für das Helligkeitsempfinden ist k ≈ 0,33.

Mikroökonomie

In der Mikroökonomie findet das Phänomen sich wieder als Fühlbarkeitsschwelle.^[1] Von Interesse ist es bei der Untersuchung von Indifferenzkurven in ihren Eigenschaften Stetigkeit und Transitivität. Die mikroökonomische Theorie geht davon aus, dass Indifferenzkurven stetig, fallend und konvex gekrümmt sind.

Das praktische Problem, dass ein Mensch marginale Unterschiede in Farbe oder Temperatur etc. nicht wahrnehmen kann, führt dazu, dass man die Transitivitätsannahme etwas lockerer formulieren muss.

Siehe auch

• Gammakorrektur
• Stevenssche Potenzfunktion

Einzelnachweise

Weblinks

• Fechner-Projekt der Gustav-Theodor-Fechner-Schule, Leipzig
• Konrad Hoppe: Das Weber-Fechner'sche Gesetz unter besonderer Berücksichtigung der Süßintensität.
• Konrad Hoppe (posthum veröffentlichter Artikel): Das Weber-Fechner'sche Gesetz unter besonderer Berücksichtigung des Weber'schen Gesetzes.