Hufeisen-Abbildung

Die Hufeisen-Abbildung (oder Hufeisen-Mapping) ist eine nichtlineare Abbildung, die in der Chaostheorie Verwendung findet. Sie wurde von dem Mathematiker Stephen Smale eingeführt und dient dazu, grundlegende Eigenschaften dynamischer Systeme zu untersuchen.

Definition

Ablauf einer Iteration in der Hufeisen-Abbildung.

Die Abbildung wird geometrisch definiert: Ein Quadrat wird zuerst gestaucht und dann gestreckt. Im nächsten Schritt wird der entstandene Streifen in die Form eines Hufeisens umgebogen (siehe Bild). Wird diese Vorschrift wiederholt angewandt, werden die meisten Punkte innerhalb des Ursprungsquadrates dieses verlassen haben und zu einem Fixpunkt in einer der "Kappen" außerhalb des Quadrates konvergieren (grüne Bereiche im Bild). Die übrigen Punkte bilden bei wiederholter Iteration eine fraktale Menge.

Siehe auch: Nichtlineare Dynamik, Bäcker-Transformation.

Weblink

• Vorlesungsskriptum zu "Dynamical Systems" mit Beschreibung der Hufeisen-Abbildung (eng.)

Literatur

• S. Smale: Differentiable dynamical systems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 73/1967, S. 747-817, ISSN 0273-0979
• P. Cvitanović, G. Gunaratne und I. Procaccia: Topological and metric properties of Hénon-type strange attractors. In: Physical Review A. 38/1988, S. 1503-1520, ISSN 1050-2947, ISSN 0556-2791
• A. de Carvalho: Pruning fronts and the formation of horseshoes. In: Ergodic theory and dynamical systems. 19/1999, S. 851-894, ISSN 0143-3857
• A. de Carvalho und T. Hall: How to prune a horseshoe. In: Nonlinearity. 15/2002, S. R19-R68, ISSN 0951-7115(?!?!)ISSN ungültig