Leslie-Matrix

Die Leslie-Matrix ist ein mathematisches Modell zur Analyse des Bevölkerungswachstums, welches im Bereich der theoretischen Ökologie zur Beschreibung von Populationen genutzt wird. Sie wurde von P. H. Leslie erfunden. Die Leslie-Matrix (auch Leslie-Modell genannt) ist eines der bekanntesten Verfahren um das Bevölkerungswachstum zu beschreiben, wobei man sich auf die einzelnen Altersstufen bezieht.

In der Ökologie beschreibt man damit die Änderungen in einer Organismenpopulation über einen bestimmten Zeitraum. In einem Leslie-Modell wird die Bevölkerung in Gruppen oder auf Altersklassen und Lebensstadien unterteilt. Um zum Beispiel den nächsten Generationsbestand einer Population auszurechnen, multipliziert man die Leslie-Matrix mit einem Vektor, welcher die Startpopulation beschreibt.

Um eine Matrix aufzustellen, müssen folgende Informationen über die Population vorhanden sein:

$n_{x}$ , die Anzahl Einzelpersonen (n) jeder Altersklasse x
$s_{x}$ , der Anteil der Einzelpersonen, der von der Altersklasse x zur Altersklasse x+1 übergeht (überlebt)
$f_{x}$ , die Geburtenrate in jeweiligen Gruppen (Altersklassen)

$\mathbf {n} _{t+1}$ , der Populationsvektor zum Zeitpunkt $$ t+1 $$ , ist definiert durch

{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\\\end{bmatrix}}_{t+1}={\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\\s_{1}&0&0&0\\0&s_{2}&0&0\\0&0&s_{3}&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}_{t}

Oder auch $\mathbf {n} _{t+1}=\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} _{t}$ , wobei L die Leslie-Matrix bezeichnet.

Dynamik

Um die Dynamik der betrachteten Population bestimmen zu können, betrachtet man die Eigenvektoren und zugehörigen Eigenwerte der Matrix. Das Langzeit-Wachstumsverhalten sowie die, in der Regel stabile, Altersverteilung ergeben sich aus dem komplexen Betrag des größten Eigenwertes bzw. als dessen Eigenvektor.

Literatur

Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. 3. printing. Springer, London u. a. 2005, ISBN 1-85233-536-X, (Springer undergraduate mathematics series).