Poincaré-Abbildung

Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach $S$.

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche $\mathrm{\Sigma }$, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte $x$ den jeweils nächsten $P(x)$ zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamischen Systems.

Beispiel

Betrachte die Differentialgleichung $\dot{x}(t)=f(x(t))$ und bezeichne mit $\mathrm{\Phi }(t,x)$ den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung $\mathrm{\Phi }(0,x)=x$. Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung $\mathrm{\Phi }(t,p)$, die bei $p$ startet und nach einer bestimmten Zeit $\tau$ wieder dorthin zurückkehrt, $\mathrm{\Phi }(\tau ,p)=p$. Dann kann man eine Fläche $\mathrm{\Sigma }$ wählen, die transversal zur Trajektorie $\mathrm{\Phi }(t,p)$ ist und diese in $p$ schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten $x\in \mathrm{\Sigma }$ in der Nähe von $p$ starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit $\tau (x)>0$, für die $\mathrm{\Phi }(\tau (x),x)\in \mathrm{\Sigma }$ gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch $P(x)=\mathrm{\Phi }(\tau (x),x)$. Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: $P(p)=p$. Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.^[1]

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0. 
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• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion). Fehler in Vorlage:Literatur – *** Parameterfehler; Band= meint BandReihe=

Einzelnachweise