Poincaré-Abbildung

Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach $ S $.

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche $ \Sigma $, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte $ x $ den jeweils nächsten $ P(x) $ zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamischen Systems.

Beispiel

Betrachte die Differentialgleichung $ {\dot {x}}(t)=f(x(t)) $ und bezeichne mit $ \Phi (t,x) $ den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung $ \Phi (0,x)=x $. Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung $ \Phi (t,p) $, die bei $ p $ startet und nach einer bestimmten Zeit $ \tau $ wieder dorthin zurückkehrt, $ \Phi (\tau ,p)=p $. Dann kann man eine Fläche $ \Sigma $ wählen, die transversal zur Trajektorie $ \Phi (t,p) $ ist und diese in $ p $ schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten $ x\in \Sigma $ in der Nähe von $ p $ starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit $ \tau (x)>0 $, für die $ \Phi (\tau (x),x)\in \Sigma $ gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch $ P(x)=\Phi (\tau (x),x) $. Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: $ P(p)=p $. Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.^[1]

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0. 
• Vorlage:EoM
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion). Fehler in Vorlage:Literatur – *** Parameterfehler; Band= meint BandReihe=

Einzelnachweise