Phasenraum

Der Phasenraum, auch Zustandsraum ist die Menge aller möglichen Zustände eines physikalischen Systems^{[Anm. 1]}. Jeder Zustand des Systems entspricht einem Punkt im Phasenraum.

Um den Phasenraum näher zu charakterisieren, wird unter den Variablen des Systems eine Teilmenge so ausgewählt, dass alle übrigen Variablen sich daraus ermitteln lassen. In der Mechanik zum Beispiel kann ein Massenpunkt die Variablen Ort, Geschwindigkeit, Impuls, kinetische Energie, potentielle Energie etc. haben, von denen Ort und Impuls ausgewählt werden, um seinen Zustand vollständig zu definieren. Werden dann Ort und Impuls durch je drei Koordinatenwerte gegeben, ist der Phasenraum sechsdimensional. In der Thermodynamik sind die Dimensionen des Phasenraums durch Zustandsgrößen wie Druck und Temperatur gegeben, in der Biologie durch die Populationsbestände konkurrierender Spezies, etc. Der Phasenraum bildet damit einen mathematischen Raum, der sehr hochdimensional sein kann, wenn etwa in der Mechanik die Bewegung vieler Teilchen zugleich erfasst werden soll.

Für Systeme mit bis zu drei Variablen kann der Phasenraum graphisch dargestellt werden. Dieses Phasenraumportrait oder Phasenportrait bietet die Möglichkeit, einige charakteristische Strukturen wie Nullklinen und Fixpunkte sowie das Vektorfeld der Dynamik ohne explizite Lösung der Bewegungsgleichungen des Systems zu erfassen. Ein solches Vorgehen nennt man Phasenraumanalyse.

Ein Phasenraum kann in Unterräume zerlegt werden. Z. B. bildet im Phasenraum eines Massenpunktes der Unterraum der möglichen Ortsvektoren den Ortsraum und der Unterraum der möglichen Impulsvektoren den Impulsraum.^[1]

Trajektorien im Phasenraum

Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Anfangspunkt aus die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen, heißt Trajektorie. Trajektorien bilden im Phasenraum kreuzungsfreie Kurven, so dass man von jedem der Punkte einer Trajektorie ihren weiteren Verlauf eindeutig bestimmen kann. Geschlossene Kurven, sogenannte Orbits, sind jedoch möglich, sie beschreiben oszillierende Systeme.

Ein dynamisches System, dessen Trajektorien den gesamten Phasenraum ausfüllen, also jedem Punkt im Phasenraum beliebig nahe kommen, nennt man ergodisch, siehe auch Ergodenhypothese.

Trotz ihrer Kreuzungsfreiheit können Trajektorien unterschiedlich dicht im Raum liegen. Dies wird durch die Phasenraumdichte quantitativ beschrieben, die auch in der statistischen Mechanik von zentraler Bedeutung ist. Wichtig für die Klassifikation eines dynamischen Systems ist die Entwicklung der Phasenraumdichte bzw. des Phasenraumvolumens mit der Zeit:

• Nimmt der Abstand zwischen annähernd parallel verlaufenden Trajektorien in einem Bündel ab, so sinkt das Phasenraumvolumen; das System wird dissipativ genannt. Dissipative Systeme verlieren Energie an ihre Umgebung, es handelt sich also um offene Systeme.
• Systeme mit konstantem Phasenraumvolumen dagegen heißen konservativ. Sie sind abgeschlossen, erhalten also die Gesamtenergie. Das gleiche wird mathematisch durch den Satz von Liouville ausgesagt.

Phasenraumanalyse

Phasenportrait des van-der-Pol-Oszillators mit Vektorfeld und typischen Trajektorien.

Das Phasenraumportrait gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Dazu werden nur die dynamischen Gleichungen des Systems benötigt, eine explizite Darstellung der Zeitentwicklung, etwa durch analytisches Lösen einer Differentialgleichung, ist nicht nötig.

Als Beispiel folgen einige Elemente der Phasenraumanalyse in einem zweidimensionalen System $ {x,y} $, das durch die Differentialgleichungen

$ x'=f_{x}(x,y) $ und

$ y'=f_{y}(x,y) $

beschrieben ist:

• Einzeichnen des Vektorfelds der Dynamik: Für ein Raster von Punkten wird die Richtung der Bewegung im Phasenraum durch Pfeile dargestellt. Folgt man nun ausgehend von einem bestimmten Startpunkt dem Pfeil, kommt man zu einem neuen Punkt, wo man dieses Vorgehen wiederholen kann. So kann man anhand des Vektorfelds zusätzlich typische Trajektorien in das Phasenraumportrait einzeichnen, die qualitative Verhalten der zeitlichen Entwicklung einschätzen helfen. Beim van-der-Pol-Oszillator zum Beispiel laufen alle Trajektorien auf einen Grenzzyklus zu, was sich anhand von Beispieltrajektorien innerhalb und außerhalb des Zyklus illustrieren lässt. Für einfache dynamische Systeme kann man Vektorfeld und Beispieltrajektorien oft mit der Hand einzeichnen, bei komplexeren Systemen kann dies durch Computerprogramme geschehen.

• Einzeichnen der Nullklinen: Eine Nullkline bezeichnet eine Kurve im Phasenraum, entlang derer sich eine der dynamischen Variablen nicht ändert. Im Fall des obigen zweidimensionalen Systems ist die x-Nullkline durch die Bedingung $ x'=f_{x}(x,y)=0 $ und die y-Nullkline durch die $ y'=f_{y}(x,y)=0 $ definiert. Diese Gleichungen lassen sich häufig auch dann nach einer der Variablen auflösen, wenn die Gesamtdynamik nicht analytisch integriert werden kann.

• Bestimmen von Fixpunkten und ihrer Stabilität: Als Fixpunkte werden Zustände bezeichnet, die sich mit der Zeit nicht ändern. Solche Fixpunkte entsprechen den Kreuzungspunkten der Nullklinen im Phasenraum. Im obigen zweidimensionalen System erklärt sich das dadurch, dass an solch einem Kreuzungspunkt die Bedingung $ f_{x}(x,y)=f_{y}(x,y)=0 $ erfüllt ist. Durch eine lineare Stabilitätsanalyse kann auch bestimmt werden, ob Trajektorien in der Nähe dieser Punkte angezogen oder abgestoßen werden.

Phasenräume in verschiedenen Wissenschaftsdisziplinen

Das Konzept des Phasenraums wird in vielen verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen benutzt und zum Teil unterschiedlich spezifiziert.

• In der hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum der Raum der Orte und Impulse. Bei einer Teilchenzahl $ N $ ist dieser Raum also $ 6N $-dimensional. Das zugehörige Differentialgleichungssystem wird aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gebildet.
• Die Lagrange-Mechanik benutzt in ähnlicher Weise den sogenannten Konfigurationsraum, der allerdings nur von den Orten der betrachteten Teilchen aufgespannt wird. Bei $ N $ Teilchen in drei Dimensionen ist der Konfigurationsraum also $ 3N $-dimensional. Der Konfigurationsraum ist jedoch kein Phasenraum im eigentlichen Sinne, da die Angabe des Ortes das System nicht vollständig beschreibt. Insbesondere können sich Trajektorien im Konfigurationsraum beliebig oft schneiden.
• In der Thermodynamik werden im Zustandsraum zwei thermodynamische Zustandsgrößen, wie etwa Druck und Temperatur, gegeneinander aufgetragen. Ferner wird der Begriff für die Bereiche eines Phasendiagramms zwischen den Phasengrenzlinien benutzt, siehe Zustandsraum (Thermodynamik).
• Der Zustandsraum in der (algebraischen) Quantenmechanik bezeichnet eine Menge positiver, linearer und normierter Funktionale auf einer Algebra von Observablen, siehe auch Zustand (Quantenmechanik).
• In der Strahlenoptik bezeichnet der Begriff des Phasenraumes die Gesamtheit aller Orte und Winkel (in der Regel gegenüber der optischen Achse), die von Lichtstrahlen eingenommen werden können, beispielsweise an einer bestimmten Apertur.
• Zustandsraum-Modelle werden in der Statistik zur Analyse und Klassifikation von Zeitreihen genutzt.
• In der Automatisierungs- und Regelungstechnik wird der Phasenraum als Regelungsstruktur im Zeitbereich benutzt, siehe Zustandsraumdarstellung.
• In der Theoretischen Informatik bezeichnet der Zustandsraum die Menge von diskreten Zustände, die ein endlicher Automat annehmen kann.
• In Kognitionswissenschaft und Neuroinformatik entspricht der Phasenraum der Gesamtheit aller Zustände, die ein kognitives biologisches System oder ein künstliches neuronales Netz einnehmen kann, siehe Zustandsraum (Neuronales Netz).

Anmerkungen

Siehe auch

• Zustandssumme

Literatur

• Y. S. Kim: The physics of phase space. Springer, Berlin 1987, ISBN 3-540-17894-5.
• Cosmas K. Zachos: Quantum mechanics in phase space - an overview with selected papers. World Scientific, Singapore 2005, ISBN 978-981-238-384-6.

Weblinks

• „State space“. In: Scholarpedia (englisch, inkl. Literaturangaben)