Replikatorgleichungen

Replikatorgleichungen sind eine Klasse von in der theoretischen Biologie entwickelten Gleichungen zur Beschreibung der Entwicklungsdynamik reproduzierbarer Einheiten (Replikatoren). Sie zählen zu den grundlegenden Gleichungen der Evolutionstheorie.

Gleichungen

In einer relativ allgemeinen Form sind stetige Replikatorgeichungen von der Form

{\dot {x_{i}}}=x_{i}[f_{i}(x)-\phi (x)],\quad \phi (x)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}f_{i}(x)}

mit $x_{i}$ der Anteil einer Replikatorspezies vom Typ $$ i $$ in der Gesamtpopulation, $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ Verteilungsvektor, $f_{i}(x)$ Fitness von Replikatortyp $$ i $$ und $\phi (x)$ durchschnittliche Fitness .

Eine häufig zur Modellvereinfachung gemachte Annahme ist, dass die Fitness linear von der Zusammensetzung der Replikatorpopulation abhängt:

{\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right),

dabei enthält die Payoff-Matrix $$ A $$ die Fitnessinformation für die Population: der zu erwartende Payoff kann geschrieben werden als $\left(Ax\right)_{i}$ und die mittlere Fitness der Gesamtpopulation als $x^{T}Ax$ .

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der Replikatorgleichungen, die Mutationen berücksichtigt, stellen Replikator-Mutator-Gleichungen dar:

{\dot {x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},

hier gibt die Matrix $$ Q $$ die mutationsbedingten Übergangswahrscheinlichkeiten der Replikatortypen $$ j $$ nach $$ i $$ an.

Literatur

Bomze, I.M. (1983) Lotka-Volterra equations and replicator dynamics: A two dimensional classification. Biol. Cybern. 48:201-11.
Bomze, I.M. (1995) Lotka-Volterra equations and replicator dynamics: New issues in classification. Biol. Cybern. 72:447-53.
Cressman, R. (2003) Evolutionary Dynamics and Extensive Form Games The MIT Press.
Hofbauer, J., and Sigmund, K. (2003) Evolutionary game dynamics Bull. Am. Math. Soc. 40, 479-519.
Hussein, I. (2009) An Individual-Based Evolutionary Dynamics Model for Networked Social Behaviors. Proceedings of the American Control Conference, St. Louis, MO. To appear.
Lieberman, E., Hauert, C., & Nowak, M. (2005). Evolutionary dynamics on graphs. Nature, 433(7023), 312-316.
Nowak, M., & Page, K. (2002) Unifying Evolutionary Dynamics Journal of Theoretical Biology 219: 93-98 .
Nowak, M. (2006) Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life Belknap Press.