Swift-Hohenberg-Gleichung

Die Swift-Hohenberg-Gleichung ist eine mathematische Modellgleichung zur Untersuchung von Musterbildungsprozessen (z. B. Streifen bei Wolken, Bénard-Experiment u. a.) . Anders als die Gleichungen zum Bénard-Experiment beschreibt es kein reales physikalisches Experiment. Der Vorteil der Gleichung liegt darin, dass die Analyse im Vergleich zum Bénard-Experiment und anderen real existierenden Beispielen übersichtlich ist. Dennoch treten hier viele Phänomene auf, die auch bei physikalischen Musterbildungsprozessen vorkommen. Dazu zählen Phasenübergänge (analog zum Übergang von Wärmeleitung zur Konvektion beim Bénard-Experiment), spontane Symmetriebrechung und eben die Musterbildung.

Die Gleichung

Es handelt sich um eine partielle Differentialgleichung auf einer reellen oder komplexen skalaren Funktion mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument $\psi (x,y,t)$ . Die Gleichung lautet

$\partial _{t}\psi =\epsilon \psi -(\Delta +k_{crit}^{2})^{2}\psi -R(\psi )$ .

Dabei sind $\epsilon$ , $k_{crit}$ Parameter und $R(\psi )$ eine nichtlineare Funktion mit $$ R(0)=0 $$ . $\Delta$ ist der Laplaceoperator. Von Interesse ist vor allem das Aussehen von $\psi (x,y)$ nach einer hinreichend langen Zeit $$ t $$ , d. h. den stabilen Lösungen der Gleichung, sofern jemals stabile Lösungen erreicht werden.

Kritischer Punkt

Das Verhalten um den Punkt $\epsilon =0$ wird bei einer Fouriertransformation des Linearanteils der Gleichung offensichtlich.

$\partial _{t}{\tilde {\psi }}(k,t)=(\epsilon -(k_{crit}^{2}-k^{2})^{2}){\tilde {\psi }}$

Im Fall von $\epsilon <0$ konvergieren die Amplituden ${\tilde {\psi }}$ zu allen Wellenzahlen gegen Null. Es bildet sich also kein Muster aus. Ist $\epsilon >0$ wachsen die Amplituden der einiger überkritischer Wellenzahlen. Die überkritischen Wellenzahlen bilden einen Kreis mit dem Radius $k_{crit}$ . In diesem Fall bildet sich ein Muster mit der Wellenlänge $2\pi /k_{crit}$ .

Homogene Lösung

Für $\epsilon <0$ ergibt sich $\psi \equiv 0$ als stabile Lösung der Gleichung. Der Parameter $\epsilon$ ist als das Analogon zur Temperatur im Bénard-Experiment zu sehen.

Überkritisches Verhalten

Das überkritisches Verhalten wird durch die Ausformung von $R(\psi )$ bestimmt. Ähnlich wie beim Bénard-Experiment sind die Lösungen typischerweise Rollen oder hexagonale Muster.

Literatur

M.C. Cross and P.C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).
J. Swift (Department of Physics, University of Texas, Austin), P. C. Hohenberg (Bell Laboratories, Murray Hill; Physik Department, Technische Universität München): Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. Phys. Rev. A 15, 319–328 (1977)