Dimension (Mathematik)
In der Mathematik wird mit der Dimension ein Konzept bezeichnet, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.
Der Begriff der Dimension tritt in einer Vielzahl von Zusammenhängen auf. Kein einzelnes mathematisches Konzept vermag es, die Dimension für alle Situationen zufriedenstellend zu definieren, darum existieren für verschiedene Räume auch unterschiedliche Dimensionsbegriffe.
Hamel-Dimension (Dimension eines Vektorraumes)
Am bekanntesten ist die Dimension eines Vektorraums, auch Hamel-Dimension genannt. Sie ist gleich der Mächtigkeit einer Basis des Vektorraumes. Folgende Aussagen sind hierzu äquivalent:
- Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems.
- Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines maximalen Systems linear unabhängiger Vektoren.
Beispielsweise besitzt der geometrisch anschauliche Euklidische 3-Raum die Dimension 3 (Länge, Breite, Höhe). Die Euklidische Ebene hat die Dimension 2, die Zahlengerade die Dimension 1, der Punkt die Dimension 0.
Vektorräumen, die kein endliches Erzeugendensystem besitzen, kann man ebenfalls die Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems als Dimension zuordnen; es handelt sich dabei dann um eine unendliche Kardinalzahl.
Das Wort „Hamel-Basis“ wird vor allem für unendlichdimensionale Vektorräume verwendet, weil Georg Hamel als erster (mit Hilfe des Wohlordnungssatzes, also des Auswahlaxioms) die Existenz einer Basis auch in diesem Fall bewiesen hat.
Hilbertraum-Dimension
Jeder Hilbertraum besitzt eine sogenannte Orthonormalbasis. Diese ist im Allgemeinen nicht eindeutig und im Allgemeinen keine Hamel-Basis im oben definierten Sinne. Man kann allerdings zeigen, dass je zwei Orthonormalbasen gleich viele Elemente haben und somit ist es möglich, die Dimension des Hilbertraums als die Kardinalität einer Orthonormalbasis zu definieren; es handelt sich auch hierbei um eine (im Allgemeinen unendliche) Kardinalzahl. Diese Kardinalzahl ist ausreichend, um Hilberträume komplett zu klassifizieren: Zu jeder Kardinalzahl gibt es bis auf Isomorphie genau einen Hilbertraum, der eine Orthonormalbasis der entsprechenden Kardinalität besitzt.
Beispiel: Der Hilbertraum $ L^{2}([0,1]) $ der quadratintegrierbaren Funktionen auf [0,1] hat Hilbertraum-Dimension $ \aleph _{0} $ - die Hamel-Dimension ist aber echt größer.
Mannigfaltigkeiten
Daneben ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit ebenfalls anschaulich einsichtig. Per Definition hat jeder Punkt einer Mannigfaltigkeit eine Umgebung, die homöomorph zum n-dimensionalen Euklidischen Raum ist; dieses n heißt Dimension der Mannigfaltigkeit. Um zu verhindern, dass die Dimension von der Wahl des Punktes abhängt, wird der Dimensionsbegriff üblicherweise nur für zusammenhängende Mannigfaltigkeiten verwendet oder Mannigfaltigkeiten werden von vorneherein so definiert, dass der Modellraum und damit die Dimension überall die gleichen sind.
Bekannte zweidimensionale Mannigfaltigkeiten sind die Oberfläche einer Kugel oder das Möbiusband.
Kettenlänge als Dimension (topologische Dimension)
Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der maximalen Länge (Anzahl von Inklusionen) einer Kette von ineinander enthaltenen Unterräumen. Die Sichtweise der Dimension als Kettenlänge lässt eine Verallgemeinerung auf andere Strukturen zu.
So ist etwa die Krulldimension eines kommutativen Rings als maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Primidealen definiert.
Ebenso ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit die maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Mannigfaltigkeiten, bei der jedes Glied der Kette Rand einer Teilmenge des vorigen ist. Zum Beispiel ist der Rand der Erdkugel die Erdoberfläche; Rand von deren Teilmenge Deutschland ist die Staatsgrenze; Rand eines bestimmten Grenzabschnitts sind die beiden Endpunkte – da es keine längere Kette gibt, hat die Erdkugel Dimension 3. Da Inklusion und Randbildung immer definiert sind, liefert dies einen Dimensionsbegriff für jeden topologischen Raum (sog. induktive Dimension). Ein weiterer topologischer Dimensionsbegriff ist die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension.
Fraktale Dimension
Neben den bislang angegebenen ganzzahligen Dimensionen kennt man auch verallgemeinerte, rational- oder reellzahlige Dimensionsbegriffe, mit deren Hilfe sogenannte Fraktale verglichen werden können.
Siehe auch
- Dimension (Physik)
- Dimensionsformel