Kelvin-Helmholtz-Instabilität

Als Kelvin-Helmholtz-Instabilität bezeichnet man das Anwachsen kleiner Störungen in der Scherschicht zweier Fluide mit unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten.

Kelvin-Helmholtz-Wirbel in der Atmosphäre des Saturn

Ein anschauliches Beispiel liefern Wellen auf einem See während eines Sturms oder der sich kräuselnde Rauch eines Räucherstäbchens in einem ansonst ruhigen Zimmer.

Wolkenbildung auf Grund einer Scherwelle

Kelvin-Helmholtz-Wirbel in der Atmosphäre hinter dem Monte Duval, Australien

Phänomenologie

Als Wetterphänomen kann es an seltsamen Wolken, die einzeln oder in gleich aussehenden Gruppen am Himmel zu sehen sind, erkennbar werden. Sie entstehen durch eine Verwirbelung von zwei übereinander liegenden Luftschichten, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und/oder Richtung bewegen. Ähnlich wie wenn Wind über Wasser streicht, entstehen Wellen an der Grenzschicht, wobei Teile der meist feuchteren unteren Luftschicht so weit nach oben gewirbelt werden, dass ihr Taupunkt unterschritten wird und es zu Wolkenbildung kommt.

Physikalische Interpretation

Weit entfernt von der Grenzschicht sind die Strömungsgeschwindigkeiten konstant. Nahe der Grenzschicht muss sich aber ein Luftelement schneller über den Wellenbuckel bewegen als ein weiter entferntes (ähnlich wie bei einem Tragflügel). Nach der Bernoulli-Gleichung ist aber der Druck über der Welle infolge der höheren Windgeschwindigkeit kleiner als in der Umgebung. Infolgedessen gibt es eine Kraft, die den Wellenkamm nach oben zieht. Analog verhält es sich in einem Wellental: Die Luft fließt langsamer über die Oberfläche eines Wellentals als in der Umgebung, und darum ist der Umgebungsdruck lokal höher. Das Wellental wird nach unten gedrückt.

Theorie

Ein einfaches Modell für die Kelvin-Helmholtz-Instabilität erhält man, wenn man die folgende Frage zu beantworten sucht: Gegeben ist eine Strömung über einer Grenzschicht. Unter welchen Bedingungen ist die Grenzschicht stabil gegen kleine Störungen?

Störungsrechnung

Gegeben sei also eine Flüssigkeit mit der Dichte ${\rho }_{-}$, die sich horizontal mit der Geschwindigkeit $V$ über eine Flüssigkeit mit der Dichte ${\rho }_{+}$ bewegt. Bezeichne $x$ eine Koordinate entlang der Scherschicht und $y$ die Koordinate rechtwinklig dazu. Nun gibt man sich eine kleine Störung entlang der Scherschicht und bezeichnet sie mit $\xi (x)$. Die dazu assoziierte Störung des Drucks $P$ bezeichnen wir mit $\delta P$ und die des Geschwindigkeitsfeldes $\overrightarrow{v}$ mit $\delta \overrightarrow{v}$.

Das Druckfeld lässt sich nun schreiben als

$P(\overrightarrow{x},t)=P_0+\delta P(\overrightarrow{x},t)$

und das Geschwindigkeitsfeld als

$\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)=V\mathrm{\Theta }(y){\overrightarrow{e}}_x+\delta v(\overrightarrow{x},t){\overrightarrow{e}}_y.$

wobei $\mathrm{\Theta }(y)$ die Heaviside-Funktion bezeichnet. Diese zwei Störungen substituiert man nun in die einfachste Form fluiddynamischer Gleichungen, nämlich in die inkompressible Euler-Gleichungen: Die Inkompressibilitätsgleichung lautet

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{v}=0$

und die Euler-Gleichung

$\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}P}{\rho }.$

Dort eingesetzt erhält man für die gestörten Größen

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \delta v=0$

und

$\frac{d\delta \overrightarrow{v}}{dt}=-\frac{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\delta P}{\rho }$

Diese zwei Gleichungen liefern für den gestörten Druck die Laplace-Gleichung

${\mathrm{\nabla }}^2\delta P=0$

Nun sucht man nach einer Wellenmode, die exponentiell mit dem Abstand $y$ von der Grenzfläche abfällt. Aus der Laplace-Gleichung schließen wir, dass für den Druck gelten muss:

$\delta P=\delta P_0\exp \{-k|y|+i(kx-\omega t)\}$

Als Nächstes substituiert man dieses Resultat in die gestörten Euler-Gleichungen. Dabei erhält man

$\delta v_y=\frac{ik\delta P}{(\omega -kV){\rho }_{+}}$ für $y>0$

und

$\delta v_y=\frac{-ik\delta P}{\omega {\rho }_{-}}$ für $y<0$.

Nun müssen noch die Randbedingungen erfüllt sein: Zunächst muss die vertikale Komponente der Störung $\xi (x)$ an der Scherschicht stetig sein. Weiter muss der Druck an der Grenzfläche stetig sein. Aus diesen beiden Bedingungen ergeben sich diese Bedingungen an die Störung:

$\xi =\frac{i\delta v_y}{\omega -kV}$

direkt über der Scherschicht $(y=0_{+})$ und

$\xi =\frac{i\delta v_y}{\omega }$

direkt unter der Scherschicht $(y=0_{-})$. Daraus lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Dichte der Flüssigkeiten, den Wellenmoden und der Relativgeschwindigkeit der Flüssigkeiten herstellen:

${\rho }_{+}(\omega -kV{)}^2+{\rho }_{-}{\omega }^2=0$

Löst man diese Gleichung nach $\omega$ auf, so erhält man ein Dispersionsgesetz für die linearen Kelvin-Helmholtz-Moden:

$\omega =kV(\frac{{\rho }_{+}\pm i({\rho }_{+}{\rho }_{-}{)}^{1/2}}{{\rho }_{+}+{\rho }_{-}})$

Zeitliches Wachstum der Störung

Nun kann man das Wachstum der Störung berechnen. Bewegt man sich mit der Geschwindigkeit ${\rho }_{+}V/({\rho }_{+}+{\rho }_{-})$ entlang der Oberfläche, so ergibt sich für die Geschwindigkeit der oberen Flüssigkeit $V^{\prime }={\rho }_{-}V/({\rho }_{+}+{\rho }_{-})$. Die Störung entwickelt sich nun folgendermaßen:

$\delta P,\xi \propto \exp \{k{V}^{\prime }({\rho }_{+}/{\rho }_{-}{)}^{1/2}t\}\cos (ik{x}^{\prime })$

Räumliches Wachstum der Störung

$k=\frac{\omega }{V}[1\pm i(\frac{{\rho }_{+}}{{\rho }_{-}}{)}^{1/2}]$

Siehe auch

• Scherschicht
• Karmansche Wirbelstraße
• Clear Air Turbulence

Weblinks

• Praktikumsunterlagen bei der gwdg (PDF-Datei; 675 kB)
• http://www.amath.washington.edu/~rjl/clawpack/euler/sester/KH.html - animiertes Beispiel
• http://www.math.lsa.umich.edu/~krasny/k-h.html - zeitliche Momentaufnahmen
• Wolkenfotos gib es: hier
• http://www.spiegel.de/wissenschaft/natur/0,1518,813437,00.html - Kelvin-Helmholtz-Wogen am 2. Februar 2012 über Birmingham (Alabama)