Kelvin-Helmholtz-Instabilität

Als Kelvin-Helmholtz-Instabilität bezeichnet man das Anwachsen kleiner Störungen in der Scherschicht zweier Fluide mit unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten.

Ein anschauliches Beispiel liefern Wellen auf einem See während eines Sturms oder der sich kräuselnde Rauch eines Räucherstäbchens in einem ansonst ruhigen Zimmer.

Phänomenologie

Als Wetterphänomen kann es an seltsamen Wolken, die einzeln oder in gleich aussehenden Gruppen am Himmel zu sehen sind, erkennbar werden. Sie entstehen durch eine Verwirbelung von zwei übereinander liegenden Luftschichten, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und/oder Richtung bewegen. Ähnlich wie wenn Wind über Wasser streicht, entstehen Wellen an der Grenzschicht, wobei Teile der meist feuchteren unteren Luftschicht so weit nach oben gewirbelt werden, dass ihr Taupunkt unterschritten wird und es zu Wolkenbildung kommt.

Physikalische Interpretation

Weit entfernt von der Grenzschicht sind die Strömungsgeschwindigkeiten konstant. Nahe der Grenzschicht muss sich aber ein Luftelement schneller über den Wellenbuckel bewegen als ein weiter entferntes (ähnlich wie bei einem Tragflügel). Nach der Bernoulli-Gleichung ist aber der Druck über der Welle infolge der höheren Windgeschwindigkeit kleiner als in der Umgebung. Infolgedessen gibt es eine Kraft, die den Wellenkamm nach oben zieht. Analog verhält es sich in einem Wellental: Die Luft fließt langsamer über die Oberfläche eines Wellentals als in der Umgebung, und darum ist der Umgebungsdruck lokal höher. Das Wellental wird nach unten gedrückt.

Theorie

Ein einfaches Modell für die Kelvin-Helmholtz-Instabilität erhält man, wenn man die folgende Frage zu beantworten sucht: Gegeben ist eine Strömung über einer Grenzschicht. Unter welchen Bedingungen ist die Grenzschicht stabil gegen kleine Störungen?

Störungsrechnung

Gegeben sei also eine Flüssigkeit mit der Dichte $ \rho _{-} $, die sich horizontal mit der Geschwindigkeit $ V $ über eine Flüssigkeit mit der Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_{+} bewegt. Bezeichne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x eine Koordinate entlang der Scherschicht und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y die Koordinate rechtwinklig dazu. Nun gibt man sich eine kleine Störung entlang der Scherschicht und bezeichnet sie mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \xi(x) . Die dazu assoziierte Störung des Drucks $ P $ bezeichnen wir mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta P und die des Geschwindigkeitsfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta \vec v .

Das Druckfeld lässt sich nun schreiben als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P(\vec x, t) = P_0 + \delta P(\vec x, t)

und das Geschwindigkeitsfeld als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v(\vec x, t) = V \Theta(y) \vec e_x + \delta v(\vec x, t) \vec e_y.

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Theta(y) die Heaviside-Funktion bezeichnet. Diese zwei Störungen substituiert man nun in die einfachste Form fluiddynamischer Gleichungen, nämlich in die inkompressible Euler-Gleichungen: Die Inkompressibilitätsgleichung lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla \cdot \vec v = 0

und die Euler-Gleichung

$ {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {-{\vec {\nabla }}P}{\rho }}. $

Dort eingesetzt erhält man für die gestörten Größen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla \cdot \delta v = 0

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{d \delta \vec v}{d t} = - \frac{\vec \nabla \delta P}{\rho}

Diese zwei Gleichungen liefern für den gestörten Druck die Laplace-Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla^2 \delta P = 0

Nun sucht man nach einer Wellenmode, die exponentiell mit dem Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y von der Grenzfläche abfällt. Aus der Laplace-Gleichung schließen wir, dass für den Druck gelten muss:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta P = \delta P_0\, \exp\{-k |y| + i (kx - \omega t) \}

Als Nächstes substituiert man dieses Resultat in die gestörten Euler-Gleichungen. Dabei erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta v_y = \frac{i k \delta P}{(\omega - k V) \rho_{+} } für $ \quad y>0 $

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta v_y = \frac{- i k \delta P}{\omega \rho_{-} } für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y < 0 .

Nun müssen noch die Randbedingungen erfüllt sein: Zunächst muss die vertikale Komponente der Störung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \xi(x) an der Scherschicht stetig sein. Weiter muss der Druck an der Grenzfläche stetig sein. Aus diesen beiden Bedingungen ergeben sich diese Bedingungen an die Störung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \xi = \frac{i \delta v_y}{\omega - k V}

direkt über der Scherschicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (y = 0_+) und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \xi = \frac{i \delta v_y}{\omega}

direkt unter der Scherschicht $ (y=0_{-}) $. Daraus lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Dichte der Flüssigkeiten, den Wellenmoden und der Relativgeschwindigkeit der Flüssigkeiten herstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_+ (\omega - k V)^2 \, + \, \rho_- \omega^2 = 0

Löst man diese Gleichung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega auf, so erhält man ein Dispersionsgesetz für die linearen Kelvin-Helmholtz-Moden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = k V ( \frac{\rho_{+} \pm i (\rho_{+} \rho_{-} )^{1/2} }{\rho_{+} + \rho_{-} } )

Zeitliches Wachstum der Störung

Nun kann man das Wachstum der Störung berechnen. Bewegt man sich mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_{+} V / (\rho_+ + \rho_- ) entlang der Oberfläche, so ergibt sich für die Geschwindigkeit der oberen Flüssigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V' = \rho_{-} V / (\rho_{+} + \rho_{-}) . Die Störung entwickelt sich nun folgendermaßen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta P, \xi \propto \exp \{ k V' (\rho_{+} / \rho_{-} )^{1/2} t \} \cos (i k x' )

Räumliches Wachstum der Störung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k = \frac{\omega}{V} \left [ 1 \pm i (\frac{\rho_{+}}{\rho_{-}} )^{1/2} \right ]

Siehe auch

• Scherschicht
• Karmansche Wirbelstraße
• Clear Air Turbulence

Weblinks

• Praktikumsunterlagen bei der gwdg (PDF-Datei; 675 kB)
• http://www.amath.washington.edu/~rjl/clawpack/euler/sester/KH.html - animiertes Beispiel
• http://www.math.lsa.umich.edu/~krasny/k-h.html - zeitliche Momentaufnahmen
• Wolkenfotos gib es: hier
• http://www.spiegel.de/wissenschaft/natur/0,1518,813437,00.html - Kelvin-Helmholtz-Wogen am 2. Februar 2012 über Birmingham (Alabama)