Parallelprojektion

Prinzip der Parallelprojektion

Eine Parallelprojektion ist eine Abbildung, die Punkte des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenen Ebene abbildet, wobei die Projektionsstrahlen zueinander parallel sind. Treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene, handelt es sich um eine Orthogonalprojektion. Eine Parallelprojektion kann als Grenzfall einer Zentralprojektion angesehen werden, bei der sich das Projektionszentrum im Unendlichen befindet. Parallelprojektionen dienen häufig dazu, Schrägbilder von geometrischen Körpern herzustellen.

Beschreibung

Den Bildpunkt eines beliebigen Punktes im Raum erhält man bei einer Parallelprojektion dadurch, dass man die Parallele zur Projektionsrichtung durch diesen Punkt mit der Projektionsebene zum Schnitt bringt. Geraden werden durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen wieder auf Geraden abgebildet. Das gilt jedoch nicht für Parallelen zur Projektionsrichtung, da diese in Punkte übergehen. Die Bildgeraden von parallelen Geraden sind - soweit definiert - ebenfalls parallel zueinander. Die Länge einer Strecke bleibt nur dann erhalten, wenn diese parallel zur Projektionsebene verläuft; in allen anderen Fällen erscheinen Strecken in der Projektion verkürzt. Auch die Größe eines projizierten Winkels stimmt normalerweise nicht mit der Größe des ursprünglichen Winkels überein. Aus diesem Grund wird ein Rechteck im Allgemeinen auf ein Parallelogramm abgebildet, aber nur in Ausnahmefällen auf ein Rechteck. Ähnliches gilt für Kreise, die im Allgemeinen in Ellipsen übergehen.

Kavalierprojektion eines Würfels

Im Allgemeinen treffen die Projektionsstrahlen schräg auf die Projektionsfläche. Man spricht dann von einer schrägen oder schiefen Parallelprojektion. Ein Beispiel hierfür ist die Kavalierprojektion.

Am häufigsten wird eine Orthogonalprojektion (auch orthogonale oder orthographische Parallelprojektion genannt) angewendet. Hier treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene. Auf dieser Projektion beruhen die technischen Zeichnungen der Ingenieure und Architekten, wobei der Sonderfall dominiert, dass eine der drei Hauptebenen der oft würfelförmigen technischen Gegenstände parallel zur Projektionsfläche ist (Dreitafelprojektion). Um Zeichnungen mit räumlichem Eindruck zu erstellen, wird diese Parallelität aufgehoben. Die Gegenstände werden geneigt. Je nach Neigungswinkel(n) entstehen zum Beispiel Isometrien oder Dimetrien. Die so erhaltenen Bilder werden oft fälschlicherweise als Bilder in Kavalierperspektive angesehen. Die Orthogonalprojektion entspricht einer Fotografie mit einem telezentrischen Objektiv oder näherungsweise einer Fotografie aus großer Entfernung, vorteilhaft mit einem Teleobjektiv aufgenommen.

Berechnung von Bildpunkten

Soll ein Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P auf eine Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E:~\vec{n}\cdot\vec{x}-d=0 mittels einer Parallelprojektion mit der Projektionsrichtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} abgebildet werden, so ist der Bildpunkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P der Schnittpunkt der Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P mit dem Richtungsvektor ${\vec {v}}$ :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g:~\vec x = \overrightarrow{OP}+\lambda\vec{v},~\lambda\in\mathbb{R}

Lässt man Ebene und Gerade schneiden, so ergibt sich für den Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda = \frac{d-\overrightarrow{OP}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{v}}

Setzt man diesen in die Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g ein, so erhält man den Schnittpunkt dieser mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E und damit den Bildpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P' :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + \frac{d-\overrightarrow{OP}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{v}}\cdot\vec{v}

Ist die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Ebene $({\vec {v}}={\vec {n}})$ , so erhält man als Spezialfall die Orthogonalprojektion des Punkts auf die Ebene.

Synthetische Geometrie

In der synthetischen Geometrie spielt die Parallelprojektion einer Geraden in einer affinen Ebene auf eine andere Gerade der gleichen Ebene eine grundlegende Rolle. Die Definition lautet hier: Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A eine affine Ebene und seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h verschiedene Geraden der Ebene aufgefasst als Mengen der auf ihr liegenden Punkte. Eine bijektive Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi : g \rightarrow h heißt Parallelprojektion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h , wenn gilt:

Schneiden sich $$ g $$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h in einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S , dann gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi(S)=S
Für zwei verschiedene Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P, Q\in g , die nicht zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h gehören, gilt stets

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P\pi(P)\parallel Q\pi(Q) .

Ergänzend wird aus formalen Gründen definiert: Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g=h ist die identische Abbildung die einzige Parallelprojektion.

Eigenschaften und Bedeutung

Die wichtigsten formalen Eigenschaften der so definierten Parallelprojektionen zwischen Geraden einer beliebigen, aber hier fest gewählten affinen Ebene:

Jede Parallelprojektion der Ebene ist umkehrbar und ihre Umkehrabbildung ist eine Parallelprojektion.
Zu zwei beliebigen Geraden $$ g,h $$ der Ebene existiert stets eine Parallelprojektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi:g\rightarrow h .

Diese Parallelprojektion ist die Identität, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g=h ist.
Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g\neq h ist eine solche Parallelprojektion durch ein einziges Punkt-Bildpunktpaar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (P,\pi(P)) eindeutig bestimmt, sofern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P nicht der Schnittpunkt der Geraden ist.
Wählt man zwei Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P\in g, P'\in h , die beide nicht Schnittpunkte der Geraden $$ g $$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h sind, dann existiert genau eine Parallelprojektion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h , die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P' abbildet.

Die Komposition von zwei Parallelprojektionen der Ebene, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi_{12} : g_1 \rightarrow g_2,\, \pi_{23} : g_2 \rightarrow g_3 , $\pi _{23}\circ \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{3}$ ist stets eine bijektive Abbildung, aber sie ist im allgemeinen keine Parallelprojektion.

Der Begriff der Parallelprojektion erlaubt es, den Begriff der Affinität auf nichtdesarguesche affine Ebenen zu verallgemeinern. Allgemein wird definiert:

Eine Kollineation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha: A\rightarrow A auf einer affinen Ebene heißt Affinität, wenn für jede Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g\subset A die Einschränkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left. \alpha\right|_g : g\rightarrow \alpha (g) durch eine endliche Komposition von Parallelprojektionen darstellbar ist.

Durch diese Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen bilden die verallgemeinerten Affinitäten eine Untergruppe der Gruppe aller Kollineationen auf der affinen Ebene. Die ergänzende Definition für Parallelprojektionen, mit der die identische Abbildung der Ebene zu einer Affinität wird, sichert die Existenz wenigstens einer Affinität. Es ist nicht bekannt, ob es affine Ebenen gibt, auf denen die identische Abbildung die einzige Affinität ist.

Affinitäten erben durch ihre Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen alle Invarianzeigenschaften der Parallelprojektionen:

In einer affinen Ebene, die dem affinen Fano-Axiom genügt, ist die Mitte von zwei Punkten invariant unter Parallelprojektionen und daher auch unter Affinitäten.

In einer affinen Translationsebene gilt

Sind drei kollineare Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (T, P, Q) kommensurabel, dann sind es auch ihre Bilder unter jeder Parallelprojektion und jeder Affinität.
Der Streckungsfaktor und das Teilverhältnis von drei verschiedenen kollinearen und kommensurablen Punkten sind invariant unter Parallelprojektionen und Affinitäten.

Da umgekehrt jede teilverhältnistreue Kollineation auf einer desargueschen Ebene die verallgemeinerte Definition einer Affinität erfüllt, sind für desarguesche Ebenen genau die teilverhältnistreuen Kollineationen Affinitäten. Eine desarguesche Ebene ist stets isomorph zu einer Koordinatenebene über einem Schiefkörper und eine affine Translationsebene mit der Zusatzeigenschaft, dass kollineare Punkte stets kommensurabel sind.

Damit fällt der verallgemeinerte Begriff „Affinität“ für desarguesche Ebenen mit dem aus der analytischen Geometrie gewohnten zusammen.

Beispiel

Eine Translation in einer affinen Inzidenzebene ist stets eine Affinität im Sinne der verallgemeinerten Definition (vgl. den Hauptartikel Affine Translationsebene). Allerdings existieren auch affine Inzidenzebenen, die außer der Identität keine weitere Translation zulassen.

Siehe auch

Satz von Cauchy, über die mittlere Fläche konvexer Körper bei Parallelprojektion

Literatur

Darstellende Geometrie:

Kurt Peter Müller: Raumgeometrie: Raumphänomene - Konstruieren - Berechnen. Mathematik-ABC für das Lehramt. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2004, 2. Kapitel, 2.2.3, S. 38 ff. (Schiefe Parallelprojektion).
Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. In: Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Mathematische Reihe. 2. veränderte Auflage. Band 6. Birkhäuser, Basel/Stuttgart 1960 (Ausführliche und anwendungsnahe Darstellung der senkrechten Parallel- und speziell Dreitafelprojektion).

Synthetische Geometrie:

Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. In: Mathematik für das Lehramt an Gymnasien. 1. Auflage. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.

Zur Geschichte des Begriffes:

Jeremy Gray: Worlds out of nothing. A course in the history of geometry of the 19th Century. 1. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-0-85729-059-5, 1. Kapitel.
Gaspard Monge: Géométrie descriptive. 7. Auflage. Paris 1847 (Erste systematische Behandlung der Dreitafelprojektionen und der Parallelprojektion im allgemeinen, Erstauflage 1811).
Guido Schreiber: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. nach Monge's Géométrie descriptive. 1. vollständig bearbeitete Auflage. Herder, Karsruhe und Freiburg 1928 (Stark überarbeitete deutsche Übersetzung des Lehrbuchs von G. Monge).