Shannon-Index

Der Shannon-Index (häufig auch als Shannon-Wiener- oder Shannon-Weaver-Index bezeichnet ^[1][2]) ist eine mathematische Größe, die in der Biometrie für die Beschreibung der Diversität (vgl. Biodiversität) eingesetzt wird. Er beschreibt die Vielfalt betrachteter Daten und berücksichtigt dabei sowohl die Anzahl unterschiedlicher Datenkategorien (z. B. die Artenzahl) als auch die Abundanz (Anzahl der Individuen je Art).

Definition

Der Shannon-Index $ H' $ einer Population, die aus N Individuen in S unterschiedlichen Spezies besteht, von denen jeweils $ n_{i} $ zu einer Spezies gehören, ist

$ H'=-\sum _{i}{p_{i}\cdot \ln p_{i}} $ mit $ p_{i}={\frac {n_{i}}{N}} $.

$ p_{i} $ ist dabei der Anteil der jeweiligen Spezies $ i $ an der Gesamtzahl $ N $, also die relative Häufigkeit der einzelnen Spezies. (Statt des natürlichen Logarithmus $ ln $ wird auch der Logarithmus zur Basis 2, $ \log _{2}\!\; $, verwendet.)

Ist die Anzahl S der Spezies vorgegeben, so erreicht der Shannon-Index sein Maximum, wenn alle Spezies gleich stark besetzt sind, und hat dann den Wert $ \ln S $.

Zusammenhang mit der Informationstheorie

Der Shannon-Index entspricht der Entropie H einer diskreten gedächtnislosen Quelle (diskreten Zufallsvariable) $ X $ über einem endlichen Alphabet $ Z=\{z_{1},z_{2},\dots ,z_{S}\} $, der wie folgt definiert ist: Man ordnet jeder Wahrscheinlichkeit $ p_{i} $ eines Ereignisses seinen Informationsgehalt $ I(p_{i})=-\log _{2}p_{i}\!\; $ zu. Dann ist die Entropie eines Zeichens definiert als der Erwartungswert des Informationsgehalts $ \qquad H_{1}=-\sum _{i=1}^{S}p_{i}\cdot \log _{2}p_{i} $, wobei $ p_{i}=P(X=z_{i}) $ die Wahrscheinlichkeit ist, mit der das $ i $-te Zeichen $ z_{i} $ des Alphabets auftritt.

Die Shannon-Weaver- und Shannon-Wiener-Debatte

Sowohl die Bezeichnung "Shannon-Weaver-Index" als auch die Bezeichnung "Shannon-Wiener-Index" ist irreleitend. Warren Weaver war Koautor und Popularisator der gebundenen „A Mathematical Theory of Communication“, in der Claude Elwood Shannon seine Theorie, die bereits vorher schon in zwei Aufsätzen niedergelegt war, veröffentlichte. Norbert Wiener stellte die probabilistischen Rechenmethoden zur Verfügung, auf denen Shannons Ausarbeitung beruhte. Seine weiteren Forschungen im Rahmen der Kybernetik bauten auf der Informationstheorie Shannons auf.^[3] Die Entwicklung des Indexes ist jedoch allein Shannon zuzuschreiben.

Siehe auch

Ein weiterer Index zur Beschreibung der (biologischen) Diversität ist der Simpson-Index.

Einzelnachweise