Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbite (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

\alpha

- und

\omega

-Limesmenge (Grenzzyklus) des Van-der-Pol-Oszillators

Definition

Sei $$ (T,X,f) $$ ein dynamisches System mit $T=\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {R}$ und $x\in X$ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $\omega$ -Limesmenge von $$ x $$ ist

\omega (x,f):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow \infty f(t_{n},x)\rightarrow y\right\}

.

Die $\alpha$ -Limesmenge von $$ x $$ ist

\alpha (x,f):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow -\infty f(t_{n},x)\rightarrow y\right\}

.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

\omega (x,f)=\bigcap _{n}{\overline {\left\{f(t,x):t>n\right\}}}

,

\omega (x,f)=\bigcap _{n}{\overline {\left\{f(t,x):t<n\right\}}}

.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $$ f $$ . Falls $$ X $$ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

Fixpunkt
Periodischer Orbit
Grenzzyklus
Seltsamer Attraktor

Literatur

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).