Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbite (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

α

- und

ω

-Limesmenge (Grenzzyklus) des Van-der-Pol-Oszillators

Definition

Sei $(T, X, f)$ ein dynamisches System mit $T = Z$ oder $R$ und $x \in X$ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $ω$ -Limesmenge von $x$ ist

ω (x, f) := {y \in X : \exists t_{n} \to \infty f (t_{n}, x) \to y}

.

Die $α$ -Limesmenge von $x$ ist

α (x, f) := {y \in X : \exists t_{n} \to - \infty f (t_{n}, x) \to y}

.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

ω (x, f) = ⋂_{n} \overset{―}{{f (t, x) : t > n}}

,

ω (x, f) = ⋂_{n} \overset{―}{{f (t, x) : t < n}}

.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $f$ . Falls $X$ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

Fixpunkt
Periodischer Orbit
Grenzzyklus
Seltsamer Attraktor

Literatur

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).