Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbite (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

$ \alpha $- und $ \omega $-Limesmenge (Grenzzyklus) des Van-der-Pol-Oszillators

Definition

Sei $ (T,X,f) $ ein dynamisches System mit $ T=\mathbb {Z} $ oder $ \mathbb {R} $ und $ x\in X $ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $ \omega $-Limesmenge von $ x $ ist

$ \omega (x,f):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow \infty f(t_{n},x)\rightarrow y\right\} $.

Die $ \alpha $-Limesmenge von $ x $ ist

$ \alpha (x,f):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow -\infty f(t_{n},x)\rightarrow y\right\} $.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

$ \omega (x,f)=\bigcap _{n}{\overline {\left\{f(t,x):t>n\right\}}} $,

$ \omega (x,f)=\bigcap _{n}{\overline {\left\{f(t,x):t<n\right\}}} $.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $ f $. Falls $ X $ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

• Fixpunkt
• Periodischer Orbit
• Grenzzyklus
• Seltsamer Attraktor

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion). Fehler in Vorlage:Literatur – *** Parameterfehler; Band= meint BandReihe=