Satz von Sarkovskii

Der Satz von Sarkovskii ist ein Satz der Mathematik, der eine wichtige Aussage über die möglichen Perioden bei der Iteration einer stetigen Funktion macht. Ein Spezialfall des Satzes ist die Aussage, dass ein stetiges dynamisches System auf der reellen Geraden mit einem Punkt der Ordnung 3 bereits Punkte zu jeder Ordnung besitzt. Dies wird häufig kurz so formuliert, dass Periode 3 Chaos impliziert.

Der Satz

Sei

f : RR

eine stetige Funktion. Man sagt, dass x ein periodischer Punkt der Ordnung (oder der Periodenlänge) m ist, wenn f m(x) = x (wobei f m die m-fache Verknüpfung von f mit sich selbst bezeichnet) und f k(x) ≠ x für alle 0 < k < m. In der Aussage geht es um die möglichen Ordnungen von periodischen Punkten von f. Zu ihrer Formulierung betrachtet man die sogenannte Sarkovskii-Ordnung der natürlichen Zahlen. Es handelt sich dabei um die totale Ordnung

3, 5, 7, 9, ... ,2·3, 2·5, 2·7, ... , 22·3, 22·5, ..... , 24, 23, 22, 2, 1.

Diese Reihenfolge startet also mit den ungeraden Zahlen in aufsteigender Folge, gefolgt von den Zweifachen der ungeraden Zahlen, den vierfachen der ungeraden Zahlen usw., und endet mit den Zweierpotenzen in absteigender Folge.

Der Satz von Sarkovskii besagt nun, dass wenn f einen periodischen Punkt der Länge m besitzt und mn in der Sarkovskii-Ordnung gilt, dass es dann auch (mindestens) einen periodischen Punkt der Länge n gibt.

Folgerungen und Bemerkungen

Der Satz besitzt mehrere Konsequenzen. Zum einen, wenn f nur endlich viele periodische Punkte besitzt, so müssen diese alle eine Zweierpotenz als Ordnung haben. Wenn f irgendeinen periodischen Punkt besitzt, so besitzt f auch einen Fixpunkt. Ferner: sobald es einen Punkt der Ordnung 3 gibt, so gibt es periodische Punkte zu jeder Ordnung. Diese Aussage wird auch Satz von Li und Yorke genannt.

Der Satz von Sarkovskii ist optimal in dem Sinne, dass man zu jeder natürlichen Zahl m eine stetige Funktion konstruieren kann derart, dass es zu jeder natürlichen Zahl, die in der Sarkovskii Ordnung nach m kommt (einschließlich m), periodische Punkte mit dieser Periodenlänge gibt, aber keine periodischen Punkte mit kleinerer Ordnung. Es gibt also beispielsweise Funktionen, die keine periodischen Punkte der Länge 3 haben, wohl aber zu allen anderen Zahlen (Periode 5 impliziert nicht Chaos).

Der Satz von Sarkovskii gilt nicht für dynamische Systeme auf anderen topologischen Räumen. Für die Drehung der Kreislinie um 120 Grad (Dritteldrehung) ist jeder Punkt periodisch mit der Länge 3, und keine weiteren Periodenlängen tauchen auf.

Geschichte

Dieser Satz wurde 1964 vom ukrainischen Mathematiker Oleksandr Mikolaiovich Sarkovskii bewiesen und blieb längere Zeit unbeachtet. Rund 10 Jahre später bewiesen Li und Yorke ohne Kenntnis des Originalresultats den Spezialfall, dass Periode 3 Chaos impliziert.

Literatur

  •  John H. Argyris: Die Erforschung des Chaos. Eine Einführung in die Theorie nichtlinearer Systeme. Völlig neu bearbeitete und erweiterte 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-540-71071-4.
  •  Wolfgang Metzler: Nichtlineare Dynamik und Chaos: Eine Einführung. Teubner-Studienbücher: Mathematik. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1, 4. Kapitel, S. 45ff.

Diese Artikel könnten dir auch gefallen

Die letzten News

22.01.2021
Ethologie | Primatologie
Befreundete Schimpansen kämpfen gemeinsam gegen Rivalen
Menschen kooperieren in großen Gruppen miteinander, um Territorien zu verteidigen oder Krieg zu führen.
22.01.2021
Ökologie | Neobiota
Invasion: Bedrohung durch den Afrikanischen Krallenfrosch wesentlich größer als gedacht
Ein internationales Forscherteam um die beiden Herpetologen Philipp Ginal und Dennis Rödder vom Zoologischen Forschungsmuseum Koenig – Leibniz-Institut für Biodiversität der Tiere (ZFMK, Museum Koenig) nutzen einen neuen Ansatz zur Abschätzung des invasiven Potenzials einer Art.
22.01.2021
Neurobiologie
Grösse von Nervenverbindungen bestimmt Stärke des Signals
Nervenzellen kommunizieren miteinander via Synapsen.
22.01.2021
Mykologie | Land-, Forst- und Viehwirtschaft
Getreidelagerung: Naturstoffe wirksamer als chemische Insektizide
Senckenberg-Wissenschaftler Thomas Schmitt hat die Wirksamkeit von Kieselerde und einem parasitischen Pilz als Schutz vor Schadinsekten an Getreide im Vergleich zu einem chemischen Insektizid untersucht.
22.01.2021
Biotechnologie | Insektenkunde
Bioinspirierte Robotik: Von Libellen lernen
Forschungsteam der Uni Kiel entschlüsselt Fangapparat der aquatischen Jäger.
20.01.2021
Genetik | Evolution
Was das Genom des Lungenfischs über die Landeroberung der Wirbeltiere verrät
Das vollständig sequenzierte Genom des Australischen Lungenfisches ist das größte sequenzierte Tiergenom und hilft, den Landgang der Wirbeltiere besser zu verstehen.
20.01.2021
Zoologie | Ethologie
Weniger gestresst: Hochrangige Hyänenmännchen haben bei Weibchen beste Chancen
Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler des Leibniz-Instituts für Zoo- und Wildtierforschung (Leibniz-IZW) haben herausgefunden, dass die Interaktion mit anderen Männchen für rangniedrige Tüpfelhyänenmännchen "stressiger" ist als für hochrangige.
18.01.2021
Zytologie | Entwicklungsbiologie
Die ersten Löwen-Embryonen aus eingefrorenen Eizellen
E
18.01.2021
Mikrobiologie | Biochemie | Biotechnologie
Mikroorganismus baut Phenol unter extremen Bedingungen ab
Forschende vom Leibniz-Institut DSMZ in Braunschweig haben den Abbau von Phenol durch Saccharolobus solfataricus charakterisiert.
18.01.2021
Physiologie | Land-, Forst- und Viehwirtschaft
Methanausstoß von Milchkühen messen
Wissenschaftler des Instituts für Nutztierbiologie Dummerstorf haben ein neues Verfahren zur Vorhersage des Methanausstoßes einer Milchkuh entwickelt.
18.01.2021
Zoologie | Genetik | Ethologie
Berliner Igel bilden keine genetisch isolierten Bestände
Igel leben sowohl auf dem Lande als auch in größeren Städten.
16.01.2021
Botanik | Taxonomie
Die einzigartige Flora Neukaledoniens
Sieben neue Arten der Hundsgiftgewächse (Apocynaceae) haben Forscher*innen der Universität Bayreuth in Neukaledonien entdeckt. Auf den Spuren des britischen Entdeckers James Cook untersuchten sie im Frühjahr 2019 die Flora auf der Inselgruppe im Südwestpazifik.
16.01.2021
Taxonomie | Fischkunde
Neue Fischgattung aus Indien: Der Kiemenschlitzaal
Senckenberg-Wissenschaftler Ralf Britz hat gemeinsam mit internationalen Kolleg*innen eine neue Fischgattung beschrieben.
16.01.2021
Anthropologie
Wo man lebt, prägt das Verhalten
Je nachdem, wo auf der Welt sie leben, organisieren Menschen aus Jäger- und Sammlergesellschaften sich ihr Leben zum Beispiel bei der Nahrungssuche, Fortpflanzung, Betreuung des Nachwuchses und sogar hinsichtlich ihres sozialen Umfelds ähnlich wie Säugetier- und Vogelarten, mit denen sie ihren Lebensraum teilen.
16.01.2021
Ökologie | Biochemie
Wie Pflanzen Abwehrgifte bilden ohne sich selbst zu schaden
In einer neuen Studie klären Forschende des Max-Planck-Instituts für chemische Ökologie und der Universität Münster die Biosynthese und genaue Wirkungsweise von Diterpen-Glykosiden in wilden Tabakpflanzen auf.
13.01.2021
Zoologie | Ethologie | Meeresbiologie
Kegelrobben fressen Seehunde, Schweinswale – und ihre Artgenossen
Kegelrobben (Halichoerus grypus) sind Deutschlands größte freilebende Raubtiere. Viele Feriengäste kennen das Bild, wenn sie auf Helgoland am Strand oder in anderen Nordseeregionen auf Sandbänken liegen – friedlich nebeneinander oder neben Seehunden.
12.01.2021
Botanik | Ökologie | Insektenkunde
Schmetterling beweist: Karpaten waren in der Eiszeit teilweise bewaldet
Senckenberg-Wissenschaftler haben die Rückzugsorte des Tagfalters Erebia aethiops während der letzten Eiszeit in Europa untersucht.
12.01.2021
Mikrobiologie | Biochemie
Bakterium produziert pharmazeutische Allzweckwaffe
Ein Wirkstoff aus den Blättern einer Zierpflanze gilt seit einigen Jahren als möglicher Vorreiter einer neuen Gruppe potenter Medikamente.
11.01.2021
Zoologie | Physiologie | Video
Neon-grünes Leuchten beim Wüstengecko
Forschende der Zoologischen Staatssammlung München (SNSB-ZSM), der LMU und der Hochschule München haben entdeckt, dass der Wüstengecko Pachydactylus rangei aus Namibia unter UV-Licht stark neon-grün fluoreszierende Streifen an den Körperseiten und um die Augen zeigt.
11.01.2021
Ethologie | Land-, Forst- und Viehwirtschaft
Ziegen mögen Denksport
Wissenschaftler untersuchten in einem Deutsch-Schweizer Projekt die Lernfähigkeit von Ziegen.
09.01.2021
Ethologie | Neurobiologie
Schlaf für Erholung des Gehirns unersetzlich
Forscher*innen des Universitätsklinikums Freiburg weisen erstmals direkt nach, dass während des Schlafens im Gehirn aktive Erholungsprozesse ablaufen, die sich nicht durch Ruhe ersetzen lassen. Die Erkenntnisse sind relevant für optimale Leistung.
07.01.2021
Ökologie | Biodiversität
Starker Rückgang einer einst zahlreichen Tierart
Eine erneute Untersuchung der Puku-Antilopen im Kasanka Nationalpark in Sambia dokumentiert einen starken Rückgang.
07.01.2021
Ethologie | Video | Primatologie
Guineapaviane grunzen mit Akzent
Vokales Lernen führt zur Anpassung der Lautstruktur in einer mehrstufigen Pavian-Gesellschaft.
07.01.2021
Klimawandel | Meeresbiologie
Das neue Gesicht der Antarktis
Die Antarktis könnte künftig ergrünen und von neuen Arten besiedelt werden. Andererseits dürften Spezies verschwinden.
07.01.2021
Klimawandel | Meeresbiologie | Neobiota
Biodiversitäts-Kollaps im östlichen Mittelmeer
Ein internationales Forschungsteam unter der Leitung von Paolo G.