Sensitive Abhängigkeit

Die sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten ist eine zentrale Charakteristik chaotischer dynamischer Systeme. Darunter verstanden wird die Eigenschaft solcher Systeme, bei einer nur infinitesimal kleinen Änderung der Anfangsbedingungen ein vollkommen unterschiedliches Systemverhalten im Zeitverlauf zu erzeugen. In diesem Sinn spricht man in der Mathematik von deterministischem Chaos: Die Entwicklung eines chaotischen dynamischen Systems ist als Folge der Unvermeidbarkeit von Messfehlern bei der Bestimmung des Anfangszustandes unvorhersagbar, nicht aufgrund eines stochastischen Verhaltens.

Definition

In der Literatur findet man unterschiedliche Konzeptionen sensitiver Abhängigkeit. Hier sollen drei verbreitete Definitionen angegeben werden. Im folgenden sei stets

f:I\subseteq \mathbb {R} \to I

eine stetige Abbildung und $$ (I,f) $$ ein dynamisches System.

nach Li/Yorke

$$ f $$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Li und Yorke, wenn eine überabzählbare Teilmenge $S\subseteq I$ existiert, so dass für alle $x,y\in S$ mit $x\neq y$ gilt:

\limsup _{n\to \infty }|f^{n}(x)-f^{n}(y)|>0

und

\liminf _{n\to \infty }|f^{n}(x)-f^{n}(y)|=0

nach Guckenheimer

$$ f $$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Guckenheimer, wenn eine Teilmenge $S\subseteq I$ von positivem Lebesgue-Maß existiert und ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon>0 so dass für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x\in S und jede Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y\in U\cap S und ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n\in\mathbb{N} existieren mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |f^n(x)-f^n(y)|>\varepsilon

nach Ruelle

$$ f $$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Ruelle, wenn ein ergodisches Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu existiert so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left|\frac{df^n}{dx}(x)\right|=\lambda_f>0

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu --fast alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x\in I erfüllt ist. $\lambda _{f}$ ist der Ljapunow-Exponent von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f .

Literatur

Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.
Wolfgang Metzler: Nichtlineare Dynamik und Chaos, B.G. Teubner, Stuttgart, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1