Topologische Konjugation

Von Topologischer Konjugation spricht man in der Mathematik, wenn es einen Homöomorphismus gibt, der eine stetige Abbildung zu einer anderen konjugiert. Das Konzept ist in der Analyse dynamischer Systeme von größerer Bedeutung, und zwar hier besonders bei der Betrachtung diskreter Systeme.

Definition

Es seien X und Y zwei metrische Räume und $f:X\rightarrow X$ sowie $g:Y\rightarrow Y$ zwei stetige Abbildungen. Dann heißen $$ f $$ und $$ g $$ topologisch konjugiert, wenn es einen Homöomorphismus $h:X\rightarrow Y$ gibt so dass

h\circ f=g\circ h

Ist $$ h $$ lediglich eine surjektive Abbildung, so sagen wir, dass $$ g $$ und $$ f $$ topologisch semikonjugiert sind.

Analog sagen wir, zwei Flüsse $\varphi$ auf $$ X $$ und $\psi$ auf $$ Y $$ sind (topologisch semikonjugiert) topologisch konjugiert, wenn (eine surjektive Abbildung) ein Homöomorphismus $h:Y\to X$ existiert, so dass

\varphi (h(y),t)=h\psi (y,t),\ t\in \mathbb {R}

Diskussion

Das Konzept der topologischen Konjugation zweier Abbildungen ist besonders bei der Analyse der durch sie gegebenen dynamischen Systeme von großer Bedeutung. Denn es gibt eine Anzahl topologischer Invarianten, also topologische Eigenschaften einer Abbildung $$ f $$ , die unter der topologischen Konjugation invariant sind. In diesem Sinne kann man die topologische Konjugation als eine Art Koordinatentransformation betrachten.

Wir sehen aus obiger Definition induktiv sofort ein, dass

f=h^{-1}\circ g\circ h{\text{ und }}f^{n}=h^{-1}\circ g^{n}\circ h

Hiermit können wir schließen, dass Orbits eines dynamischen Systems unter der topologischen Konjugation auf die Orbits des topologisch konjugierten dynamischen Systems abgebildet, und zwar periodische auf periodische Orbits und nichtperiodische auf nichtperiodische Orbits.

Weitaus bedeutender für die Analyse der Dynamik ist jedoch die Feststellung, dass auch Chaos eine topologische Invariante ist. Denn für die zwei topologisch konjugierten Abbildungen $f:X\to X$ und $g:Y\to Y$ gilt: $$ f $$ ist genau dann chaotisch, wenn $$ g $$ chaotisch ist.

Weitere Invarianten unter der topologischen Konjugation sind zum Beispiel topologische Transitivität, sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten und die topologische Entropie.

Beispiel

Es sei

{\begin{aligned}G_{r}:\mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\x&\mapsto rx(1-x)\end{aligned}}

die logistische Abbildung. Es läßt sich nun mit Hilfe der topologischen Konjugation zeigen, dass $G_{r}$ für Parameterwerte von $r>2+{\sqrt {5}}$ chaotisch operiert auf der wie folgt induktiv definierten Cantormenge

{\begin{aligned}A_{0}&=\left\{x\in [0,1]|G_{r}(x)>1\right\}\\A_{n}&=\left\{x\in [0,1]|G_{r}^{i}(x)\in A_{i-1}\ \forall \ i=1,\ldots ,n\right\}\end{aligned}}

und

A=[0,1]\setminus (\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n})

Literatur

Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.