Zeitinvarianz

Ein System ist zeitinvariant, wenn es zu jeder Zeit das gleiche Verhalten zeigt. Die Parameter seiner mathematischen Beschreibung sind zeitlich unveränderlich (invariant). Wenn das System mit einer Zustandsdifferentialgleichung beschrieben wird, sind alle Matrizen konstant.

Ein System ist ein Gebilde mehrerer Elemente, die eine Einheit bilden, zum Beispiel ein Pendel, oder eine elektronische Schaltung. Die Parameter eines Systems sind dann die Kenngrößen der elektronischen Bauteile oder geometrische Abmessungen.

Zeitinvarianz

Aus der Systemeigenschaft Zeitinvarianz folgt, dass die zeitliche Verschiebung des Eingangssignals des Systems zu einer gleichartigen Verschiebung des Ausgangssignals führt, ohne dessen zeitlichen Verlauf in anderer Form zu beeinflussen.

Das heißt, auf ein verzögertes Eingangssignal liefert das System ein gleiches, entsprechend verzögertes Ausgangssignal.

$ y(t)=H\{x(t)\} $

folgt:

$ y(t-t_{0})=H\{x(t-t_{0})\}. $

Ein System, das die oben beschriebene Eigenschaft nicht besitzt, wird als zeitvariant bezeichnet. Ist das System auch linear, vereinfacht sich die mathematische Beschreibung, siehe Lineares zeitinvariantes System.

Energieerhaltung

Nach dem Noether-Theorem gehört in der Physik zu jeder Symmetrie auch eine Erhaltungsgröße. Zur Zeitinvarianz (Homogenität der Zeit) gehört die Energieerhaltung. Betrachten wir ein abgeschlossenes System, zum Beispiel ein ideales Pendel, ohne die Reibung zu berücksichtigen. Es ändern sich zwar die kinetische Energie und die potentielle Energie des Pendels (also des Systems) zeitlich, jedoch bleibt deren Summe, die Gesamtenergie, konstant. Es ist egal, zu welchem Zeitpunkt das Pendel betrachtet wird; die Energie E ist immer gleich.

$ {\frac {dE}{dt}}=0\quad \Leftrightarrow \quad E={\text{const.}} $

Beispiele

1. Beispiel

Ein elektrischer Widerstand R ist zeitinvariant. Fließt durch ihn ein konstanter Strom I, erzeugt er eine Spannungsdifferenz U von $ U=R\cdot I $. Auch mehrere Minuten später liefert er die gleiche Spannungsdifferenz.

Bei genauerer Betrachtung ist die Spannungsdifferenz geringfügig höher, weil er sich durch den Stromfluss erwärmt hat. Diese Erwärmung ist aber nicht direkt von der Zeit abhängig, sondern von dem Eingangssignal Strom, der Wärmeabgabe und der Ausgangstemperatur. Unter gleichen Ausgangsbedingungen wird er zu jeder Zeit die gleiche Spannungsdifferenz liefern.

2. Beispiel

Stellen Sie sich folgende zwei Systeme vor:

• System A: $ y(t)=t\cdot x(t) $
• System B: $ y(t)=10\cdot x(t) $

Da System A eindeutig von t abhängt, ist dieses zeitvariant. Das System B ist nicht direkt von t abhängig und ist deswegen zeitinvariant.