FitzHugh-Nagumo-Modell

Das FitzHugh-Nagumo-Modell (nach Richard FitzHugh (* 1922) und J. Nagumo, die das Modell unabhängig voneinander entwickelten) beschreibt einen Prototyp eines anregbaren Systems, zum Beispiel eines Neurons. Wenn die äußere Anregung $I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ einen Schwellenwert ueberschreitet, führt das System eine charakteristische Exkursion im $(v,w)$-Phasenraum aus, bevor die Variablen $v$ und $w$ zu ihren Ruhewerten $(v_0,w_0)$ zurückkehren. Dieses Verhalten ist modellhaft für die Generation von Spikes (=kurzzeitige Erhöhung der Membranspannung $v$) in einem Neuron nach Stimulation durch einen externen Strom $I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$.

Die Gleichungen dieses dynamischen Systems lauten

$\dot{v}=v-v^3-w+I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$

$\tau \dot{w}=v-a-bw$

Die Anregungs-Dynamik kann mithilfe der Nullklinen anschaulich dargestellt werden. Der stationäre Punkt $(v_0,w_0)$ (Ruhewerte) ist der Schnittpunkt der $\dot{v}$- und der $\dot{w}$-Nullklinen. Wird das System für kurze Zeit angeregt ($I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}\ne 0$), beschreibt es eine Exkursion im Phasenraum, die sich in vier Stadien einteilen lässt: zunächst beschreibt die Trajektorie eine fast horizontale Trajektorie, da wegen $\tau \gg 1$ gilt $\dot{v}\gg \dot{w}$. Sobald die Trajektorie die kubische $\dot{v}$-Nullkline erreicht, sinkt $\dot{v}$ rapide und die Trajektorie folgt der $\dot{v}$-Nullklinen. Am oberen Scheitelpunkt der $\dot{v}$-Nullklinen, erfolgt eine weitere horizontale Passage zum linken Ast der $\dot{v}$-Nullkline, und anschließend eine erneute Phase, in der die Trajektorie dieser Nullklinen folgt.

Das FitzHugh-Nagumo-Modell ist eine vereinfachte Version des Hodgkin-Huxley-Modell, welches detailliert die Aktivierungs- und Deaktivierungsdynamik in einem spikenden Neuron abbildet. In den Original-Artikeln von FitzHugh wird dies Modell auch als Bonhoeffer-van-der-Pol-Oszillator bezeichnet, da es den van-der-Pol-Oszillator als Spezialfall für $a=b=0$ enthält.

Literatur

• FitzHugh R. (1955) Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, 17:257–278
• FitzHugh R. (1961) Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical J. 1:445–466
• FitzHugh R. (1969) Mathematical models of excitation and propagation in nerve. Chapter 1 (pp. 1–85 in H.P. Schwan, ed. Biological Engineering, McGraw-Hill Book Co., N.Y.)
• Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. (1962) An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc IRE. 50:2061–2070.

Weblinks

• Artikel. In: Scholarpedia (englisch, inkl. Literaturangaben)
• Java-Applet zu zwei gekoppelten FHN-Systemen