FitzHugh-Nagumo-Modell

Das FitzHugh-Nagumo-Modell (nach Richard FitzHugh (* 1922) und J. Nagumo, die das Modell unabhängig voneinander entwickelten) beschreibt einen Prototyp eines anregbaren Systems, zum Beispiel eines Neurons. Wenn die äußere Anregung $ I_{\rm ext} $ einen Schwellenwert ueberschreitet, führt das System eine charakteristische Exkursion im $ (v,w) $-Phasenraum aus, bevor die Variablen $ v $ und $ w $ zu ihren Ruhewerten $ (v_0,w_0) $ zurückkehren. Dieses Verhalten ist modellhaft für die Generation von Spikes (=kurzzeitige Erhöhung der Membranspannung $ v $) in einem Neuron nach Stimulation durch einen externen Strom $ I_{\rm ext} $.

Datei:Fhn spike.jpg
Spike-Dynamik des FitzHugh-Nagumo-Modells nach kurzer Anregung $ I_{\rm ext}\neq 0 $
Datei:Fhn phase space.jpg
Nullklinen des FitzHugh-Nagumo-Modells (blau) sowie Beispieltrajektorie (rot)

Die Gleichungen dieses dynamischen Systems lauten

$ \dot{v}=v-v^3 - w + I_{\rm ext} $

$ \tau \dot{w} = v-a-b w $

Die Anregungs-Dynamik kann mithilfe der Nullklinen anschaulich dargestellt werden. Der stationäre Punkt $ (v_0,w_0) $ (Ruhewerte) ist der Schnittpunkt der $ \dot{v} $- und der $ \dot{w} $-Nullklinen. Wird das System für kurze Zeit angeregt ($ I_{\rm ext} \neq 0 $), beschreibt es eine Exkursion im Phasenraum, die sich in vier Stadien einteilen lässt: zunächst beschreibt die Trajektorie eine fast horizontale Trajektorie, da wegen $ \tau \gg 1 $ gilt $ \dot{v} \gg \dot{w} $. Sobald die Trajektorie die kubische $ \dot{v} $-Nullkline erreicht, sinkt $ \dot{v} $ rapide und die Trajektorie folgt der $ \dot{v} $-Nullklinen. Am oberen Scheitelpunkt der $ \dot{v} $-Nullklinen, erfolgt eine weitere horizontale Passage zum linken Ast der $ \dot{v} $-Nullkline, und anschließend eine erneute Phase, in der die Trajektorie dieser Nullklinen folgt.

Das FitzHugh-Nagumo-Modell ist eine vereinfachte Version des Hodgkin-Huxley-Modell, welches detailliert die Aktivierungs- und Deaktivierungsdynamik in einem spikenden Neuron abbildet. In den Original-Artikeln von FitzHugh wird dies Modell auch als Bonhoeffer-van-der-Pol-Oszillator bezeichnet, da es den van-der-Pol-Oszillator als Spezialfall für $ a=b=0 $ enthält.

Literatur

  • FitzHugh R. (1955) Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, 17:257–278
  • FitzHugh R. (1961) Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical J. 1:445–466
  • FitzHugh R. (1969) Mathematical models of excitation and propagation in nerve. Chapter 1 (pp. 1–85 in H.P. Schwan, ed. Biological Engineering, McGraw-Hill Book Co., N.Y.)
  • Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. (1962) An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc IRE. 50:2061–2070.

Weblinks


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