Nichtlineare Dynamik

Nichtlineare Dynamik bezeichnet einen Zweig der Theorie dynamischer Systeme, wo die auftretenden Differentialgleichungen (oder Differenzengleichungen) nichtlineare Funktionen enthalten. Diese nichtlinearen Gleichungen zeigen unter bestimmten Umständen interessante Merkmale und Lösungen, beispielsweise Flächen im Phasenraum als Attraktoren, Selbstähnlichkeit und fraktale Strukturen.

Wichtige Anwendungen der Nichtlinearen Dynamik finden sich beispielsweise in der Mechanik und der Astrophysik.

Beispiel

Ein Beispiel für eine nichtlineare Differentialgleichung ist die folgende, das Verhalten einer Schaukel beschreibende Bewegungsgleichung:

$ {\ddot {\varphi }}+2{\frac {\dot {L}}{L}}{\dot {\varphi }}+{\frac {g}{L}}sin{\varphi }=0 $

$ L(t)=L_{0}-\Delta L_{0}cos(\Omega t) $

Da die Sinus-Funktion auf die nullte Ableitung angewandt wird handelt es sich um ein nichtlineares System. Im konkreten Fall wirkt die Sinus-Funktion begrenzend auf die Instabilität der auftretendenen parametererregten Schwingung, da das System bei größeren Amplituden in stabile Bereiche verstimmt wird. Der nichtlineare Anteil ist also ursächlich für die Abhängigkeit der Eigenfrequenz von der Schwingungsamplitude.^[1]

Siehe auch

• Nichtlineares System
• Chaosforschung

Literatur

• Demtröder: Experimentalphysik 1, 5. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 978-3540792949, Kapitel 12

Einzelnachweise