SI-Modell

In der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, bezeichnet man als SI-Model einen besonders einfachen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten.

Bezeichnen

$ ~S $  die gesunden, noch nicht angesteckten Individuen (susceptible individuals S) und
$ ~I $  die kranken, schon angesteckten Individuen (infectious individuals I)

und nehmen wir zur Vereinfachung an $ ~N = I + S = $  const. Also $ ~S = N - I $.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit ist statistisch einmal abhängig von der Anzahl der erkrankten Individuen, also der Anzahl der Keimträger, zum anderen abhängig von der Anzahl der Individuen, die noch angesteckt werden können.

Der einfachst mögliche Ansatz verwendet eine lineare funktionelle Antwort nach Art des Massenwirkungsgesetzes mit einem Wechselwirkungsterm $ c $:

$ \frac{dS} {dt} = -cIS $
$ \frac{dI} {dt} = cIS $

oder, unter Ausnutzung der Erhaltungsgleichung $ ~S + I = N = $  const,

$ \frac{dI} {dt} = cI(N- I) = cN I \left(1 - \frac{I}{N}\right), $

was man noch mit $ a:= cN $ auf eine etwas vertrautere Form bringen kann:

$ \frac{dI} {dt} = a I \left(1 - \frac{I}{N}\right) $

Damit ist das Problem zurückgeführt auf die bekannte Logistische Differentialgleichung und man liest ab, dass sich gemäß diesem Modell die Krankheit in der gesamten Population ausbreiten wird.

Realistischere Erweiterungen des SI-Modells sind das SIS-Modell, in dem Individuen gesunden können, und das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden können.

Literatur

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