Logistische Funktion

Die logistische Verteilung charakterisiert eine stetige eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung und ist eine funktionelle Darstellung von Sättigungsprozessen aus der Klasse der sogenannten Sigmoidfunktionen mit unbegrenzter zeitlicher Ausdehnung.

Noch bis ins 20. Jahrhundert wurde gelegentlich auch der Logarithmus mit dem italienischen Namen der logistischen Kurve (curva logistica) belegt. Heute ist der Name eindeutig der S-Funktion zugeordnet.

Beschreibung

Die logistische Funktion, wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer idealen Bakterienpopulation. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource – die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe. In der Praxis beginnt die Funktion nicht bei 0, sondern zur Anfangszeit liegt schon ein Anfangswert f(0) vor.

Für das Bakterienbeispiel gilt also:

• Der begrenzte Lebensraum bildet eine obere Schranke G für die Bakterienanzahl f(t).
• Das Bakterienwachstum f'(t) ist proportional zu:
  • dem aktuellen Bestand f(t)
  • der noch vorhandenen Kapazität G − f(t)

Diese Entwicklung wird daher durch eine Differentialgleichung der Form

$ f'(t)=k\cdot f(t)\cdot \left(G-f(t)\right) $

mit einer Proportionalitätskonstanten $ k $ beschrieben. Das Lösen dieser Differentialgleichung ergibt:

$ f(t)=G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t}\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}} $

Der Graph der Funktion beschreibt eine S-förmige Kurve, eine Sigmoide. Am Anfang ist das Wachstum klein, da die Population und somit die Zahl der sich vermehrenden Individuen gering ist. In der Mitte der Entwicklung (genauer: im Wendepunkt) wächst die Population am stärksten, bis sie durch die sich erschöpfenden Ressourcen gebremst wird.

Weitere Anwendungen

Die Logistische Gleichung beschreibt einen sehr häufig auftretenden Zusammenhang und findet weit über die Idee der Beschreibung einer Population von Lebewesen hinaus Anwendung. Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der Logistischen Funktion nachgebildet werden. Weitere Anwendungsbereiche sind Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Sprache (Sprachwandelgesetz, Piotrowski-Gesetz) sowie die Entwicklung im Erwerb der Muttersprache (Spracherwerbsgesetz). Eine Anwendung findet die logistische Funktion auch im SI-Modell der mathematischen Epidemiologie.

Lösung der Differentialgleichung

Bezeichnet man die Werte der gesuchten Lösung mit $ y $, so erhält man

$ {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\,=\,k\cdot y\cdot \left(G-y\right) $

Die Differentialgleichung lässt sich mit dem Verfahren „Trennung der Variablen“ lösen. Dazu bringen wir die Variable $ t $ nach links und die Variable $ y $ nach rechts.

$ k\mathrm {d} t\,=\,{\frac {1}{y(G-y)}}\mathrm {d} y\,=\,{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{G-y}}\right)\mathrm {d} y $,

wobei man die letzte Gleichung für $ G\neq 0 $ durch eine Partialbruchzerlegung oder durch eine einfache Rechnung erhält. Wir bringen das $ G $ auf die linke Seite und erhalten durch Integration mit einer noch zu bestimmenden Integrationskonstanten $ c $:

$ kGt+c\,=\,\ln y-\ln(G-y)\,=\,\ln {\frac {y}{G-y}} $,

solange die Werte $ y $ zwischen 0 und $ G $ liegen, was wegen der Voraussetzung $ 0<f(0)<G $ angenommen werden kann. Dabei ist $ \ln $ der natürliche Logarithmus. Die Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten führt zu

$ e^{kGt+c}\,=\,{\frac {y}{G-y}} $.

und anschließende Kehrwertbildung zu

$ (*)\quad \quad \quad e^{-kGt-c}\,=\,{\frac {G-y}{y}}\,=\,{\frac {G}{y}}-1 $.

Wir bringen nun die 1 auf die linke Seite, bilden dann erneut den Kehrwert, und erhalten schließlich

$ {\frac {y}{G}}\,=\,{\frac {1}{1+e^{-kGt-c}}} $

und daraus

$ (**)\quad \quad \quad y\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt-c}}} $

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten $ c $ setzen wir in der mit (*) bezeichneten Gleichung $ t=0 $. Der zugehörige Funktionwert $ y $ ist $ f(0) $ und wir finden

$ e^{-c}=e^{-kG0-c}={\frac {G}{f(0)}}-1 $.

Setzen wir dies in die gefundene Lösung (**) ein und beachten $ y=f(t) $, so kommen wir zur oben behaupteten Lösung der logistischen Differentialgleichung:

$ f(t)\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt-c}}}\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt}e^{-c}}}\,=\,G\cdot {\frac {1}{1+e^{-kGt}({\frac {G}{f(0)}}-1)}} $

An dieser Funktionsgleichung liest man leicht ab, dass die Werte immer zwischen 0 und $ G $ liegen, weshalb die Lösung für alle $ -\infty <t<\infty $ gilt. Das kann man im Nachhinein natürlich auch durch Einsetzen in die Differentialgleichung bestätigen.

Berechnung des Wendepunkts

Zur Bestimmung des Wendepunktes der Lösungsfunktion $ f $ bestimmen wir zunächst mittels Produktregel die Ableitungen

$ f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (G-f(t)) $

$ f''(t)=k\cdot f'(t)\cdot (G-f(t))+k\cdot f(t)\cdot (-f'(t))=k\cdot f'(t)\cdot (G-f(t)-f(t))=k\cdot f'(t)\cdot (G-2\cdot f(t)) $

und bestimmen die Nullstelle $ t_{W} $ der zweiten Ableitung:

$ f''(t_{W})=k\cdot f'(t_{W})\cdot (G-2\cdot f(t_{W}))=0 $

$ G-2\cdot f(t_{W})=0 $

$ G=2\cdot f(t_{W}) $

$ f(t_{W})={\frac {G}{2}} $

Damit kennen wir den Funktionswert im Wendepunkt und stellen fest, dass die Population im Wendepunkt gerade die halbe Sättigungsgrenze überschreitet. Zur Bestimmung von $ t_{W} $ verwenden wir für $ f(t_{W})={\tfrac {G}{2}} $ die Lösungsformel und rechnen wie folgt:

$ G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t_{W}}\cdot \left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}}={\frac {G}{2}} $

$ 2=1+e^{-k\cdot G\cdot t_{W}}\cdot \left({\frac {G}{f(0)}}-1\right) $

$ 1=e^{-k\cdot G\cdot t_{W}}\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right) $

$ e^{k\cdot G\cdot t_{W}}=\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right) $

$ k\cdot G\cdot t_{W}=\ln \left({\frac {G}{f(0)}}-1\right) $

$ t_{W}={\frac {\ln \left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}{k\cdot G}} $

Damit ist der Wendepunkt vollständig bestimmt und es gibt nur diesen einen. Durch Einsetzen von $ f(t_{W})={\tfrac {G}{2}} $ in die erste Ableitung erhält man die maximale Wachstumsgeschwindigkeit:

$ f'(t_{W})=k\cdot {\frac {G}{2}}\cdot \left(G-{\frac {G}{2}}\right)=k\cdot {\frac {G}{2}}\cdot {\frac {G}{2}} $

$ f'(t_{W})={\frac {k\cdot G^{2}}{4}} $

Weitere Darstellungen

$ f(t)=G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t}\left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}} $

$ =G\cdot {\frac {1}{1+e^{-k\cdot G\cdot t}\cdot {\frac {G}{f(0)}}-e^{-k\cdot G\cdot t}}}\cdot {\frac {f(0)}{f(0)}}={\frac {G\cdot f(0)}{f(0)+e^{-k\cdot G\cdot t}\cdot G-e^{-k\cdot G\cdot t}\cdot f(0)}} $

$ ={\frac {G\cdot f(0)}{f(0)+\left(G-f(0)\right)\cdot e^{-k\cdot G\cdot t}}} $

oder auch:

$ f(t)={\frac {G}{2}}\cdot \left(\tanh \left({\frac {kG}{2}}(t-t_{W})\right)+1\right) $, wobei $ t_{W} $ die oben berechnete Wendestelle ist: $ t_{W}={\frac {\ln \left({\frac {G}{f(0)}}-1\right)}{k\cdot G}} $

Siehe auch

• Logistische Regression

Literatur

• Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. 3. printing. Springer, London u. a. 2005, ISBN 1-85233-536-X, (Springer undergraduate mathematics series).
• Norman R. Draper, Harry Smith: Applied Regression Analysis. 3rd Edition. Wiley-Interscience, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-17082-8, (Wiley Series in Probability and Statistics. Texts and References Section).
• Volker Oppitz, Volker Nollau: Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung. Quantitative Methoden der ökonomischen Analyse. Carl Hanser Verlag, München u. a. 2004, ISBN 3-446-22463-7.
• Volker Oppitz: Gabler-Lexikon Wirtschaftlichkeitsrechnung. Mit Anwendersoftware für Praxis und Studium. Gabler-Verlag Wiesbaden 1995, ISBN 3-409-19951-9
• Peter Schönfeld: Methoden der Ökonometrie. 2 Bände. Vahlen, Berlin u. a. 1969–1971.