SIR-Modell
Als SIR-Modell (Susceptible-Infected-Recovered-Model) bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen klassischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, der eine Erweiterung des SI-Modells darstellt.
Dabei wird eine in ihrer Gesamtgröße N als konstant veranschlagte Population aufgeteilt in gesunde Individuen (susceptible individuals S), reversibel erkrankte und ansteckende Individuen (infectious individuals I) und bereits immunisierte Individuen (resistant individuals R) und die Ausbreitung der betrachteten Krankheit meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit einer Erkrankungsrate c und einer Gesundungsrate w formuliert.
$ {\frac {dS}{dt}}=-cIS $
$ {\frac {dI}{dt}}=cIS-wI $
$ {\frac {dR}{dt}}=wI $
Um dimensionslose Größen zu erhalten sei vereinbart:
$ u_{1}:={\frac {S}{N}},u_{2}:={\frac {I}{N}},u_{3}:=R/N,\theta =wt,r:={\frac {cN}{w}} $
Damit schreiben sich obige Gleichungen als:
$ {\frac {du_{1}}{d\theta }}=-ru_{1}u_{2} $
$ {\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{1}u_{2}-u_{2} $
$ {\frac {du_{3}}{d\theta }}=u_{2} $
Betrachte nun die Projektion des Zustandsraumes auf die u_1u_2-Ebene: Für r > 1 schneidet, wie man an der Steigung abliest, die Isokline (von u_2) $ ru_{1}-1=0 $ das Dreieck $ {u_{1},u_{2}|u_{1}+u_{2}<=1} $ und die Krankheitsverbreitung hat einen Fixpunkt. Für r < 1 existiert dieser Fixpunkt nicht und die Krankheit verschwindet.
Eng verwandt ist die Lotka-Volterra-Gleichung. Eine gemeinsame Behandlung erfahren diese Modelle in der Theorie der Replikatordynamiken.
Siehe auch
- Mathematische Modellierung der Epidemiologie Einführender Artikel
- SI-Modell Ansteckung ohne Gesundung
- SIS-Modell Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung
- Dynamisches System Mathematischer Oberbegriff
Literatur
- N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. 1. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 1-85233-536-X.