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Mathematische Modellierung der Epidemiologie

Die meisten Infektionskrankheiten können mathematisch modelliert werden, um ihr epidemiologisches Verhalten zu untersuchen oder zu prognostizieren. Dieser Artikel führt in einige mögliche Denkweisen der mathematischen Epidemiologie ein und nutzt einige Grundannahmen und Mathematik, um Parameter für verschiedene Infektionskrankheiten zu finden. Mit diesen Parametern lassen sich beispielsweise Kalkulationen über die Auswirkung von Impfprogrammen aufstellen. Die hier verwendete Mathematik ist bewusst einfach gehalten. Am Ende des Artikels finden sich Verweise auf einige Modelle, die teilweise eine etwas anspruchsvollere mathematische Ausarbeitung zum Gegenstand haben.

Konzepte

Die Basisreproduktionsrate $ R_{0} $ ist die Anzahl der Sekundärfälle, die ein Infizierter in einer gegebenen Population erzeugt. Hierbei wird davon ausgegangen, dass in der Population keine Immunität existiert.

$ S $ (von engl. Susceptibles) ist der Anteil der Bevölkerung, der nicht immun gegen die Krankheit ist. Dies ist eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1.

$ A $ kennzeichnet das durchschnittliche Alter, in dem eine Population von der Krankheit betroffen wird.

$ L $ (von engl. Life expectancy) kennzeichnet die durchschnittliche Lebenserwartung in der Bevölkerung.

Annahmen

  • Es wird von einer rechteckigen Alterspyramide ausgegangen, wie sie typischerweise in entwickelten Ländern mit geringer Kindersterblichkeit und häufigem Erreichen der Lebenserwartung zu finden ist.
  • Es wird eine homogene Mischung der Bevölkerung vorausgesetzt. Das heißt, dass die untersuchten Individuen Kontakte zufällig knüpfen und sich nicht überwiegend auf eine kleinere Gruppe beschränken. Diese Voraussetzung ist selten gerechtfertigt, sie ist jedoch zur Vereinfachung der Mathematik notwendig.

Der endemische Status

Eine Infektionskrankheit ist endemisch, wenn sie fortwährend ohne externe Einflüsse innerhalb einer Population existiert. Das bedeutet, dass im Mittel jede erkrankte Person genau eine weitere infiziert. Wäre dieser Wert geringer, würde die Krankheit aussterben, wäre er größer würde sie sich aufgrund exponentiellen Wachstums zu einer Epidemie entwickeln. Mathematisch betrachtet heißt das:

$ \ {R_{0}}\times {S}={1} $

Damit eine Krankheit mit hoher Basisreproduktionsrate (unter Annahme nicht vorhandener Immunität) endemisch bleibt, muss daher zwangsläufig die Anzahl der tatsächlich Anfälligen gering sein.

Mit der oben getroffenen Voraussetzung über die Alterspyramide lässt sich annehmen, dass jedes Individuum der Population exakt die Lebenserwartung $ L $ erreicht und dann stirbt. Wenn das durchschnittliche Alter der Infektion $ A $ ist, sind im Mittel jüngere Individuen anfällig, während ältere Individuen bereits durch vorherige Infektion immunisiert wurden (oder noch immer infektiös sind). Folglich ist der Anteil der für die Krankheit Anfälligen:

$ S={\frac {A}{L}} $

Im endemischen Fall gilt jedoch auch:

$ S={\frac {1}{R_{0}}} $

Damit gilt

$ {\frac {1}{R_{0}}}={\frac {A}{L}}\Rightarrow R_{0}={\frac {L}{A}} $

was eine Abschätzung der Basisreproduktionsrate durch leicht ermittelbare Daten ermöglicht.

Für eine Bevölkerung mit exponentieller Alterspyramide zeigt sich, dass

$ R_{0}=1+{\frac {L}{A}} $

Die hierbei verwendete Mathematik ist komplexer und somit außerhalb des Rahmens dieser Betrachtung.

Die Mathematik der Impfungen

Wenn der immunisierte Anteil der Bevölkerung (bzw. die „Durchimpfung“) oberhalb des für Herdenimmunität notwendigen Grades liegt, kann eine Krankheit nicht in endemischem Zustand innerhalb dieser Population verbleiben. Ein Beispiel für einen weltweiten Erfolg auf diesem Wege ist die Ausrottung der Pocken, deren letzter Fall 1977 in Somalia dokumentiert wurde. Derzeit betreibt die WHO eine ähnliche Impfstrategie zur Ausrottung von Polio.

Der Grad der Kollektivimmunität wird als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q bezeichnet. Da für einen endemischen Zustand

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ {R_0} \times S = 1

erfüllt sein muss, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S = (1 - q) , denn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q ist der immune Anteil der Bevölkerung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q + S = 1 (da in diesem vereinfachten Modell jedes Individuum entweder anfällig oder immun ist). Dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ {R_0} \times (1-q) = 1 \Rightarrow 1 - q = \frac{1}{R_0} \Rightarrow q = 1 - \frac{1}{R_0}

Dies ist der Schwellenwert der Kollektivimmunität, dieser muss übertroffen werden, damit die Krankheit ausstirbt. Der hier kalkulierte Wert ist die kritische Immunisierungsschwelle $ q_{c} $. Es ist der minimale Anteil der Bevölkerung, der zur Geburt (oder kurz danach) durch Impfung immunisiert werden muss, damit die Krankheit in der gegebenen Population ausstirbt.

Impfprogramm unterhalb der kritischen Immunisierungsschwelle

Sind verwendete Seren nicht hinreichend effektiv oder können nicht auf hinreichend breiter Front angewendet werden, beispielsweise aufgrund gesellschaftlichen Widerstands (siehe beispielsweise MMR-Impfstoff), so ist das Impfprogramm nicht in der Lage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q_c zu übertreffen. Dennoch kann ein solches Programm die Infektionsbalance stören und dabei unvorhergesehene Probleme verursachen.

Angenommen der bei Geburt immunisierte Anteil der Bevölkerung betrage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q (wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q < q_c ) und die Krankheit habe die Basisreproduktionsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_0 > 1 . Dann verändert das Impfprogramm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_0 zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_q , wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {R_q} := {R_0}\cdot (1 - q).

Diese Änderung findet schlicht aufgrund der gesunkenen Anzahl an potentiell Anfälligen statt. $ R_{q} $ ist nichts Anderes als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_0 ohne diejenigen Individuen, welche unter normalen Umständen infiziert würden, aber aufgrund der Impfung nicht werden.

Aufgrund dieser gesunkenen Basisreproduktionsrate verändert sich auch das durchschnittliche Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A , unter den nicht Geimpften, auf einen Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_q .

Nach obiger Relation, welche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_0, A und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L verband, gilt (unter Annahme gleich bleibender Lebenserwartung):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ {R_q} = \frac{L}{A_q}, \quad A_q = \frac{L}{R_q} = \frac{L}{R_0 \cdot (1 - q)}

Allerdings gilt $ R_{0}=L/A $, folglich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_q = \frac{L}{(L/A)(1-q)} = \frac{AL}{L(1-q)} = \frac{A}{1-q} .

Somit erhöht das Impfprogramm das mittlere Infektionsalter. Ungeimpfte Individuen unterliegen nun durch Anwesenheit der geimpften Gruppe einer reduzierten Infektionsrate.

Dieser Effekt ist jedoch bei Krankheiten nachteilig, deren Verlauf mit steigendem Alter schwerwiegender wird. Bei einer hohen Wahrscheinlichkeit für tödliche Verläufe kann ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q_c nicht übertreffendes Impfprogramm im Extremfall mehr Opfer unter den Ungeimpften fordern, als es ohne Impfprogramm gegeben hätte.

Impfprogramme oberhalb der kritischen Immunisierungsschwelle

Überschreitet ein Impfprogramm die kritische Immunisierungsschwelle einer Population für eine signifikante Dauer, wird die Krankheit innerhalb dieser Bevölkerung gestoppt. Wird diese Eliminierung weltweit durchgeführt, führt sie ultimativ zur Ausrottung der Krankheit.

Siehe auch

Weblinks

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