Transkritische Bifurkation

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Bifurkationsdiagramm einer Transkritischen Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die Transkritische Bifurkation ist ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen Systems.

Die Normalform der Transkritischen Bifurkation ist:

{\frac {dx}{dt}}=\mu \cdot x-x^{2}

(i)

wobei μ der Bifurkationsparameter ist.

Die Transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:

{x_{1}}^{*}=0

{x_{2}}^{*}=\mu

Die Anzahl an Gleichgewichtspunkten verhält sich also für eine Änderung des Parameter μ folgendermaßen:

\mu <0:\mathrm {GGW} =\lbrace \mu ,0\rbrace \,

\mu =0:\mathrm {GGW} =\lbrace 0\rbrace \,

\mu >0:\mathrm {GGW} =\lbrace 0,\mu \rbrace \,

Die Anzahl an Gleichgewichtspunkten wechselt also von 2 zu 1 zu 2.

Diskretes System

Für ein diskretes System wird aus (i):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{t+1} = x_t + \mu \cdot x_t - x_t^2

Die Lage der Fixpunkte bleibt gegenüber dem kontinuierlichen System unverändert.

Siehe auch

Pitchfork-Bifurkation, Hopf-Bifurkation, Saddle-Node-Bifurkation, Bifurkation (Mathematik)