Hopf-Bifurkation

Eine Hopf-Bifurkation oder Hopf-Andronov-Bifurkation ist ein Typ einer lokalen Bifurkation in nichtlinearen Systemen. Sie ist nach dem österreichischen Mathematiker Eberhard Frederich Ferdinand Hopf benannt.

Hopf-Bifurkationen zeichnen sich dadurch aus, dass bei der Variation eines Parameters ein Gleichgewicht seine Stabilität verliert und in einen Grenzzyklus übergeht. Je nachdem, ob dieser Grenzzyklus stabil oder instabil ist, spricht man von einer superkritischen oder subkritischen Hopf-Bifurkation.

Bei einer Hopf-Bifurkation überquert an einem Gleichgewichtspunkt (Fixpunkt) des Systems ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte der aus der Linearisierung des Systems resultierenden Jacobimatrix die imaginäre Achse der komplexen Ebene, am Bifurkationspunkt sind die konjugierten Eigenwerte also rein imaginär.

Die Kodimension der Hopf-Bifurkation ist ebenso wie bei der Saddle-Node-Bifurkation, der Pitchfork-Bifurkation und der Transkritischen Bifurkation gleich eins, die anderen Typen von Bifurkationen der Kodimension 1 zeichnen sich hingegen durch einen Eigenwert $ \lambda =0 $ der Jacobimatrix am Fixpunkt aus.

Literatur

• John Guckenheimer, Philip Holmes: Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, Springer, ISBN 0-387-90819-6

Weblinks

• Artikel. In: Scholarpedia (englisch, inkl. Literaturangaben)