Wiederkehrsatz
Der poincarésche Wiederkehrsatz ist ein mathematischer Satz über dynamische Systeme. Er besagt, dass es bei autonomen hamiltonschen Systemen, deren Phasenraum ein endliches Volumen hat, in jeder offenen Menge
Ursprung
Der poincarésche Wiederkehrsatz wurde 1890 in der schwedischen Zeitschrift Acta Mathematica in einer Arbeit von Henri Poincaré über das Dreikörperproblem zum ersten Mal veröffentlicht[1]. Die erste Formulierung des Wiederkehrsatzes findet sich darin auf Seite 69:
- Théorème I. Supposons que le point
reste à distance finie, et que le volume soit un invariant intégral; si l'on considère une région quelquonque, quelque petite que soit cette région, il y aura des trajectoires qui la traverse une infinité de fois.
- (Satz I. Nehmen wir an, der Punkt
verbleibe in einem endlichen Abstand, und das Volumen sei ein invariantes Integral; betrachtet man ein beliebiges Gebiet, so klein es auch sein mag, so wird es immer Bahnen geben, die es unendlich oft durchlaufen.)
Poincaré beweist diesen Satz auf den beiden folgenden Seiten seiner Arbeit; aus seinem Beweis wird klar, dass die Dimension des Volumens keine Rolle spielt. In der Tat formuliert Poincaré auf Seite 72f. diesen Satz auch für beliebige Dimension
Mathematik
Unter Hinzunahme des ursprünglichen Kontextes ergibt sich folgende Formulierung des poincaréschen Wiederkehrsatzes:
- Sei
eine autonome Hamilton-Funktion auf einem Phasenraum mit endlichem Volumen. Dann gibt es zu jeder offenen Menge eine Trajektorie des zugehörigen hamiltonschen Systems, die unendlich oft durchläuft.
Wesentliche Ideen des Beweises
Die wichtigsten Schritte des poincaréschen Beweis sind (in heutiger Notation):
- Das Vektorfeld, das das hamiltonsche System definiert, entsteht aus partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion. Weil diese nach Voraussetzung autonom ist, ist das Vektorfeld divergenzfrei.
- Damit folgt aus der liouvilleschen Volumenformel, dass der vom hamiltonschen System erzeugte Fluss volumenerhaltend ist. Das bedeutet in Formeln: Der Fluss
definiert für jedes eine bijektive Abbildung . Ist messbar, so ist auch messbar, und es gilt . - Man konzentriert sich jetzt auf ganzzahlige Zeitpunkte
; alle Mengen haben das gleiche Volumen . Weil der Phasenraum endliches Volumen hat, können die Mengen nicht paarweise disjunkt sein. Also gibt es derart, dass . Damit gilt auch . - Ist
derart gefunden, dass , dann können nach dem gleichen Argument die Mengen nicht paarweise disjunkt sein. Also gibt es mit . Für gilt damit .
Die Schritte 1 und 2 dieser Argumentation waren bereits vor Poincaré wohl bekannt. Die restlichen Beweisideen finden sich wohl erstmals in Poincarés Arbeit.
Maßtheoretische Formulierung und Verschärfung
Bei Poincarés Beweis spielt der Begriff Volumen eine wichtige Rolle. Mit Hilfe der Maßtheorie und der damit verbundenen Begriffe lässt sich der Beweis klarer strukturieren.[2] Man beginnt mit einem Maßraum
maßerhaltend, wenn für jede messbare Menge
- Seien
ein endlicher Maßraum, eine maßerhaltende Abbildung und eine messbare Menge mit . Dann gibt es Punkte mit der Eigenschaft, dass für eine unbegrenzt aufsteigende Folge .
Eine genaue Analyse des poincaréschen Beweises mit Hilfe der Maßtheorie führt zu folgender maßtheoretischen Verschärfung:
- Seien
ein endlicher Maßraum, eine maßerhaltende Abbildung und eine messbare Menge mit . Dann bilden die Punkte , deren Iterierte nicht beliebig oft nach zurückkehren, eine -Nullmenge.
Diskrete dynamische Systeme
Die maßtheoretischen Varianten lassen sich leicht auf diskrete dynamische Systeme anwenden, bringen dort aber nichts Neues: Als Maß nimmt man hier einfach das Zählmaß. Die Forderung
Physik
Physikalisch bedeutet der poincarésche Wiederkehrsatz, dass ein mechanisches System, dessen Bahnen beschränkt bleiben (also z. B. das Sonnensystem), die Eigenschaft hat, dass es in jeder Umgebung des Anfangszustands Systemzustände gibt, deren Bahnen beliebig oft in besagte Umgebung des Anfangszustands zurückkehren. Daraus folgt etwa das folgende Resultat: Verbindet man zwei Behälter, die unterschiedliche Gase beinhalten, so vermischen sich diese zunächst. Nach dem Wiederkehrsatz gibt es jedoch eine beliebig kleine Änderung des Anfangszustands mit der Konsequenz, dass sich die Gase zu einem späteren Zeitpunkt von selbst trennen und entmischt sind. Die Entmischung widerspricht einer deterministischen Formulierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, die eine Abnahme der Entropie ausschließt. Darüber entspann sich eine Auseinandersetzung zwischen Ernst Zermelo und Ludwig Boltzmann, in deren Verlauf Boltzmann einige Artikel über die Zusammenhänge zwischen dem poincaréschen Wiederkehrsatz und dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verfasste. Danach verschwindet der Widerspruch, wenn man den zweiten Hauptsatz statistisch interpretiert:
- „Schon Clausius, Maxwell u.a. haben wiederholt darauf hingewiesen, daß die Lehrsätze der Gastheorie den Charakter statistischer Wahrheiten haben. Ich habe besonders oft und so deutlich als mir möglich war betont, daß das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung unter Gasmolekülen keineswegs wie ein Lehrsatz der gewöhnlichen Mechanik aus den Bewegungsgleichungen allein bewiesen werden kann, daß man vielmehr nur beweisen kann, daß dasselbe weitaus die größte Wahrscheinlichkeit hat und bei einer großen Anzahl von Molekülen alle übrigen Zustände damit verglichen so unwahrscheinlich ist, daß sie praktisch nicht in Betracht kommen. An derselben Stelle habe ich auch betont, daß der zweite Hauptsatz vom molekulartheoretischen Standpunkte ein bloßer Wahrscheinlichkeitssatz ist.“[3]
Demgemäß ist eine Abnahme der Entropie nicht prinzipiell unmöglich, aber innerhalb einer „kurzen“ Zeitspanne sehr unwahrscheinlich. Betrachtet man jedoch das Verhalten eines hamiltonschen Systems mit beschränktem Phasenraum für beliebig große Zeiten, so ist die Wiederkehr fast sicher - wie aus der maßtheoretischen Verschärfung des poincaréschen Wiederkehrsatzes folgt. Im Anhang der zitierten Abhandlung gibt Boltzmann eine Schätzung der Wiederkehrzeit für die Moleküle von Luft gewöhnlicher Dichte in einem Gefäß von einem cm³ Volumen. Nach etwa einer Seite kombinatorischer Überlegungen kommt er zu einer Zahl
- „Wie groß aber schon die Zahl
ist, davon erhält man einen Begriff, wenn man bedenkt, daß sie viele Trillionen Stellen hat. Wenn dagegen um jeden mit dem besten Fernrohr sichtbaren Fixstern so viele Planeten, wie um die Sonne kreisten, wenn auf jedem dieser Planeten so viele Menschen wie auf der Erde wären und jeder dieser Menschen eine Trillion Jahre lebte, so hätte die Zahl der Sekunden, welche alle zusammen erleben, noch lange nicht fünfzig Stellen.“
Einzelnachweise
- ↑ Henri Poincaré: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Math. 13 (1890), 1-270. Poincaré hatte ursprünglich eine Arbeit auf eine Ausschreibung des schwedischen Konigs Oskar II. hin eingereicht, und damit den Preis gewonnen. Die in Band 13 der Acta Mathematica publizierte Arbeit ist eine Überarbeitung davon, in der zwar ein gravierender Fehler beseitigt ist, die aber auch das vermeintliche Hauptergebnis der Preisarbeit nicht mehr enthält.
- ↑ Konrad Jacobs: Selecta Mathematica IV. Einige Grundbegriffe der topologischen Dynamik. Poincarés Wiederkehrsatz. Springer-Verlag 1972.
- ↑ Ludwig Boltzmann: Entgegnung auf die wärmetheoretischen Betrachtungen des Hrn. E. Zermelo, Wied. Ann. 57, S. 773-784 (1896). In: Wissenschaftliche Abhandlungen von Ludwig Boltzmann, hrsg. von Fritz Hasenöhrl, III. Band, New York 1968