Doppelpendel
Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. An den Arm eines Pendels wird ein weiteres Pendel gehängt.
Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches exponentiell auf Störungen reagiert. Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik, welche elliptische und hyperbolische Fixpunkte besitzt.
Anschaulich ist in bestimmten Zuständen (Phasenraumpositionen) eine geringe Änderung ausschlaggebend für die unmittelbare weitere Entwicklung.
Bewegungsgleichungen
Die Bewegungsgleichungen für die Winkel $ \varphi _{1} $ und $ \varphi _{2} $ ergeben sich aus dem Lagrange-Formalismus zu
$ \left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+m_{2}l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+g\left(m_{1}+m_{2}\right)\sin \varphi _{1}=0 $
und
$ m_{2}l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+m_{2}l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)-m_{2}l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+gm_{2}\sin \varphi _{2}=0 $
Wobei $ l_{1} $ und $ l_{2} $ die Längen der (masselosen) Verbindungsstangen und $ g $ die Erdbeschleunigung ist. In den Bewegungsgleichungen treten die ersten zeitlichen Ableitungen der Winkel quadratisch auf. Es handelt sich also um ein nichtlineares System. Im Spezialfall kleiner Auslenkungen lassen sich die Bewegungsgleichungen allerdings mittels der Kleinwinkelnäherung vereinfachen. Dann lassen sich beispielsweise weitere Spezialfälle wie $ m_{1}\ll m_{2} $ oder $ m_{1}\gg m_{2} $ betrachten, die eine näherungsweise harmonische Lösung besitzen.
Lösung der Bewegungsgleichungen
Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten $ {\varphi _{1}} $ und $ {\varphi _{2}} $ stellen ein nichtlineares System von zwei Differentialgleichungen dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten Anfangswerten mit numerischen Verfahren gelöst werden.
Mittels Trigonometrie können die Winkel $ {\varphi _{1}} $ und $ {\varphi _{2}} $ in die kartesischen Koordinaten $ (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}) $ der Massenpunkte überführt werden.
Trajektorie
Siehe auch
- Magnetisches Pendel
- Multipendel
- KAM-Theorem
Weblinks
- Java-Doppelpendel (Englisch)
- Doppelpendel-Simulation in Java und Python (Deutsch)
- Doppelpendel - Grenzen der Simulation zeigt, dass die Bewegung stets nur für eine kurze Zeitspanne simuliert werden kann
- Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (Englisch)